Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10556 / 2553
↖ ↑ ↗
← N 76.875787°
E 51.943360°		 ← 554.76 m → N 76.875787°
E 51.965332°		 →
↑
554.91 m
↓
↑
554.91 m
↓
N 76.870796°
E 51.943360°		 ← 554.97 m →
307 904 m²		 N 76.870796°
E 51.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644317626953125 y=0.155853271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644317626953125 × 214)
    floor (0.644317626953125 × 16384)
    floor (10556.5)     		tx = 10556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155853271484375 × 214)
    floor (0.155853271484375 × 16384)
    floor (2553.5)     		ty = 2553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10556 / 2553 ti = "14/10556/2553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10556/2553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10556 ÷ 214
    10556 ÷ 16384     		x = 0.644287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2553 ÷ 214
    2553 ÷ 16384     		y = 0.15582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644287109375 × 2 - 1) × π
    0.28857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90658265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15582275390625 × 2 - 1) × π
    0.6883544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16252941565997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90658265} λ = 0.90658265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16252941565997))-π/2
    2×atan(8.6930983319737)-π/2
    2×1.45626595664141-π/2
    2.91253191328282-1.57079632675     		φ = 1.34173559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90658265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.943360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34173559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.875787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10556 KachelY 2553 0.90658265 1.34173559 51.943360 76.875787
    Oben rechts KachelX + 1 10557 KachelY 2553 0.90696614 1.34173559 51.965332 76.875787
    Unten links KachelX 10556 KachelY + 1 2554 0.90658265 1.34164849 51.943360 76.870796
    Unten rechts KachelX + 1 10557 KachelY + 1 2554 0.90696614 1.34164849 51.965332 76.870796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34173559-1.34164849) × R
    8.71000000000066e-05 × 6371000     		dl = 554.914100000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34173559-1.34164849) × R
    8.71000000000066e-05 × 6371000     		dr = 554.914100000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90658265-0.90696614) × cos(1.34173559) × R
    0.000383489999999931 × 0.227062894088153 × 6371000     		do = 554.763421096278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90658265-0.90696614) × cos(1.34164849) × R
    0.000383489999999931 × 0.227147718183144 × 6371000     		du = 554.970664579709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34173559)-sin(1.34164849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227062894088153-0.227147718183144)×R²
    abs(0.90696614-0.90658265)×8.4824094991498e-05×R²
    0.000383489999999931×8.4824094991498e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.4824094991498e-05×40589641000000     		ar = 307903.545890617m²