Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10556 / 2471
↖ ↑ ↗
← N 77.278694°
E 51.943360°		 ← 538.02 m → N 77.278694°
E 51.965332°		 →
↑
538.16 m
↓
↑
538.16 m
↓
N 77.273855°
E 51.943360°		 ← 538.22 m →
289 593 m²		 N 77.273855°
E 51.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644317626953125 y=0.150848388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644317626953125 × 214)
    floor (0.644317626953125 × 16384)
    floor (10556.5)     		tx = 10556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150848388671875 × 214)
    floor (0.150848388671875 × 16384)
    floor (2471.5)     		ty = 2471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10556 / 2471 ti = "14/10556/2471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10556/2471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10556 ÷ 214
    10556 ÷ 16384     		x = 0.644287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2471 ÷ 214
    2471 ÷ 16384     		y = 0.15081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644287109375 × 2 - 1) × π
    0.28857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90658265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15081787109375 × 2 - 1) × π
    0.6983642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19397602181073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90658265} λ = 0.90658265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19397602181073))-π/2
    2×atan(8.97081043789728)-π/2
    2×1.45978199126775-π/2
    2.91956398253551-1.57079632675     		φ = 1.34876766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90658265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.943360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34876766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.278694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10556 KachelY 2471 0.90658265 1.34876766 51.943360 77.278694
    Oben rechts KachelX + 1 10557 KachelY 2471 0.90696614 1.34876766 51.965332 77.278694
    Unten links KachelX 10556 KachelY + 1 2472 0.90658265 1.34868319 51.943360 77.273855
    Unten rechts KachelX + 1 10557 KachelY + 1 2472 0.90696614 1.34868319 51.965332 77.273855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34876766-1.34868319) × R
    8.44700000000032e-05 × 6371000     		dl = 538.15837000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34876766-1.34868319) × R
    8.44700000000032e-05 × 6371000     		dr = 538.15837000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90658265-0.90696614) × cos(1.34876766) × R
    0.000383489999999931 × 0.220208943412948 × 6371000     		do = 538.017747436691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90658265-0.90696614) × cos(1.34868319) × R
    0.000383489999999931 × 0.220291339119025 × 6371000     		du = 538.21905784441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34876766)-sin(1.34868319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220208943412948-0.220291339119025)×R²
    abs(0.90696614-0.90658265)×8.23957060770431e-05×R²
    0.000383489999999931×8.23957060770431e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.23957060770431e-05×40589641000000     		ar = 289592.922604228m²