Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105559 / 97192
↖ ↑ ↗
← S 65.265901°
E109.926452°		 ← 127.79 m → S 65.265901°
E109.929199°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
S 65.267051°
E109.926452°		 ← 127.79 m →
16 332 m²		 S 65.267051°
E109.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805355072021484 y=0.741519927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805355072021484 × 217)
    floor (0.805355072021484 × 131072)
    floor (105559.5)     		tx = 105559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741519927978516 × 217)
    floor (0.741519927978516 × 131072)
    floor (97192.5)     		ty = 97192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105559 / 97192 ti = "17/105559/97192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105559/97192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105559 ÷ 217
    105559 ÷ 131072     		x = 0.805351257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97192 ÷ 217
    97192 ÷ 131072     		y = 0.74151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805351257324219 × 2 - 1) × π
    0.610702514648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.91857853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.4830322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5174904943725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91857853} λ = 1.91857853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5174904943725))-π/2
    2×atan(0.219261434921781)-π/2
    2×0.215845727106137-π/2
    0.431691454212273-1.57079632675     		φ = -1.13910487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91857853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.926452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13910487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.265901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105559 KachelY 97192 1.91857853 -1.13910487 109.926452 -65.265901
    Oben rechts KachelX + 1 105560 KachelY 97192 1.91862647 -1.13910487 109.929199 -65.265901
    Unten links KachelX 105559 KachelY + 1 97193 1.91857853 -1.13912493 109.926452 -65.267051
    Unten rechts KachelX + 1 105560 KachelY + 1 97193 1.91862647 -1.13912493 109.929199 -65.267051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13910487--1.13912493) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13910487--1.13912493) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91857853-1.91862647) × cos(-1.13910487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418407681650722 × 6371000     		do = 127.792475789772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91857853-1.91862647) × cos(-1.13912493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418389461884363 × 6371000     		du = 127.78691100415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13910487)-sin(-1.13912493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418407681650722-0.418389461884363)×R²
    abs(1.91862647-1.91857853)×1.82197663584627e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82197663584627e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82197663584627e-05×40589641000000     		ar = 16331.8116213972m²