Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105552 / 97104
↖ ↑ ↗
← S 65.164579°
E109.907227°		 ← 128.26 m → S 65.164579°
E109.909973°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
S 65.165732°
E109.907227°		 ← 128.25 m →
16 448 m²		 S 65.165732°
E109.909973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805301666259766 y=0.740848541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805301666259766 × 217)
    floor (0.805301666259766 × 131072)
    floor (105552.5)     		tx = 105552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740848541259766 × 217)
    floor (0.740848541259766 × 131072)
    floor (97104.5)     		ty = 97104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105552 / 97104 ti = "17/105552/97104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105552/97104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105552 ÷ 217
    105552 ÷ 131072     		x = 0.8052978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97104 ÷ 217
    97104 ÷ 131072     		y = 0.7408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8052978515625 × 2 - 1) × π
    0.610595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91824298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91824298} λ = 1.91824298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51327204720593))-π/2
    2×atan(0.220188331357953)-π/2
    2×0.21672993480568-π/2
    0.43345986961136-1.57079632675     		φ = -1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91824298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105552 KachelY 97104 1.91824298 -1.13733646 109.907227 -65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 105553 KachelY 97104 1.91829091 -1.13733646 109.909973 -65.164579
    Unten links KachelX 105552 KachelY + 1 97105 1.91824298 -1.13735659 109.907227 -65.165732
    Unten rechts KachelX + 1 105553 KachelY + 1 97105 1.91829091 -1.13735659 109.909973 -65.165732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13733646--1.13735659) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13733646--1.13735659) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91824298-1.91829091) × cos(-1.13733646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 128.256083824443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91824298-1.91829091) × cos(-1.13735659) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41999493303682 × 6371000     		du = 128.250505341916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13733646)-sin(-1.13735659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.41999493303682)×R²
    abs(1.91829091-1.91824298)×1.82684223291596e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82684223291596e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82684223291596e-05×40589641000000     		ar = 16448.2580224192m²