Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10555 / 2472
↖ ↑ ↗
← N 77.273855°
E 51.921387°		 ← 538.23 m → N 77.273855°
E 51.943360°		 →
↑
538.35 m
↓
↑
538.35 m
↓
N 77.269013°
E 51.921387°		 ← 538.43 m →
289 812 m²		 N 77.269013°
E 51.943360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644256591796875 y=0.150909423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644256591796875 × 214)
    floor (0.644256591796875 × 16384)
    floor (10555.5)     		tx = 10555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150909423828125 × 214)
    floor (0.150909423828125 × 16384)
    floor (2472.5)     		ty = 2472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10555 / 2472 ti = "14/10555/2472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10555/2472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10555 ÷ 214
    10555 ÷ 16384     		x = 0.64422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2472 ÷ 214
    2472 ÷ 16384     		y = 0.15087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64422607421875 × 2 - 1) × π
    0.2884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90619915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15087890625 × 2 - 1) × π
    0.6982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90619915} λ = 0.90619915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19359252661377))-π/2
    2×atan(8.9673708347593)-π/2
    2×1.45973975883225-π/2
    2.9194795176645-1.57079632675     		φ = 1.34868319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90619915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34868319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.273855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10555 KachelY 2472 0.90619915 1.34868319 51.921387 77.273855
    Oben rechts KachelX + 1 10556 KachelY 2472 0.90658265 1.34868319 51.943360 77.273855
    Unten links KachelX 10555 KachelY + 1 2473 0.90619915 1.34859869 51.921387 77.269013
    Unten rechts KachelX + 1 10556 KachelY + 1 2473 0.90658265 1.34859869 51.943360 77.269013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34868319-1.34859869) × R
    8.45000000000429e-05 × 6371000     		dl = 538.349500000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34868319-1.34859869) × R
    8.45000000000429e-05 × 6371000     		dr = 538.349500000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90619915-0.90658265) × cos(1.34868319) × R
    0.000383500000000092 × 0.220291339119025 × 6371000     		do = 538.233092605852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90619915-0.90658265) × cos(1.34859869) × R
    0.000383500000000092 × 0.220373762515749 × 6371000     		du = 538.434475918964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34868319)-sin(1.34859869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220291339119025-0.220373762515749)×R²
    abs(0.90658265-0.90619915)×8.24233967237353e-05×R²
    0.000383500000000092×8.24233967237353e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.24233967237353e-05×40589641000000     		ar = 289811.723763192m²