Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105537 / 97089
↖ ↑ ↗
← S 65.147269°
E109.866028°		 ← 128.37 m → S 65.147269°
E109.868774°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
S 65.148423°
E109.866028°		 ← 128.36 m →
16 471 m²		 S 65.148423°
E109.868774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805187225341797 y=0.740734100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805187225341797 × 217)
    floor (0.805187225341797 × 131072)
    floor (105537.5)     		tx = 105537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740734100341797 × 217)
    floor (0.740734100341797 × 131072)
    floor (97089.5)     		ty = 97089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105537 / 97089 ti = "17/105537/97089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105537/97089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105537 ÷ 217
    105537 ÷ 131072     		x = 0.805183410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97089 ÷ 217
    97089 ÷ 131072     		y = 0.740730285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805183410644531 × 2 - 1) × π
    0.610366821289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.91752392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740730285644531 × 2 - 1) × π
    -0.481460571289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.51255299371163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91752392} λ = 1.91752392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51255299371163))-π/2
    2×atan(0.220346715483526)-π/2
    2×0.216880990064878-π/2
    0.433761980129757-1.57079632675     		φ = -1.13703435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91752392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.866028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13703435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.147269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105537 KachelY 97089 1.91752392 -1.13703435 109.866028 -65.147269
    Oben rechts KachelX + 1 105538 KachelY 97089 1.91757186 -1.13703435 109.868774 -65.147269
    Unten links KachelX 105537 KachelY + 1 97090 1.91752392 -1.13705449 109.866028 -65.148423
    Unten rechts KachelX + 1 105538 KachelY + 1 97090 1.91757186 -1.13705449 109.868774 -65.148423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13703435--1.13705449) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13703435--1.13705449) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91752392-1.91757186) × cos(-1.13703435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420287352548942 × 6371000     		do = 128.366575664817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91752392-1.91757186) × cos(-1.13705449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420269077607696 × 6371000     		du = 128.360994027364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13703435)-sin(-1.13705449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420287352548942-0.420269077607696)×R²
    abs(1.91757186-1.91752392)×1.8274941246732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8274941246732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8274941246732e-05×40589641000000     		ar = 16470.6062599201m²