Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105532 / 96966
↖ ↑ ↗
← S 65.004903°
E109.852295°		 ← 129.03 m → S 65.004903°
E109.855041°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
S 65.006064°
E109.852295°		 ← 129.02 m →
16 654 m²		 S 65.006064°
E109.855041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805149078369141 y=0.739795684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805149078369141 × 217)
    floor (0.805149078369141 × 131072)
    floor (105532.5)     		tx = 105532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739795684814453 × 217)
    floor (0.739795684814453 × 131072)
    floor (96966.5)     		ty = 96966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105532 / 96966 ti = "17/105532/96966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105532/96966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105532 ÷ 217
    105532 ÷ 131072     		x = 0.805145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96966 ÷ 217
    96966 ÷ 131072     		y = 0.739791870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805145263671875 × 2 - 1) × π
    0.61029052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91728424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739791870117188 × 2 - 1) × π
    -0.479583740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50665675505836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91728424} λ = 1.91728424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50665675505836))-π/2
    2×atan(0.221649770089824)-π/2
    2×0.218123366581611-π/2
    0.436246733163222-1.57079632675     		φ = -1.13454959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91728424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13454959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.004903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105532 KachelY 96966 1.91728424 -1.13454959 109.852295 -65.004903
    Oben rechts KachelX + 1 105533 KachelY 96966 1.91733217 -1.13454959 109.855041 -65.004903
    Unten links KachelX 105532 KachelY + 1 96967 1.91728424 -1.13456985 109.852295 -65.006064
    Unten rechts KachelX + 1 105533 KachelY + 1 96967 1.91733217 -1.13456985 109.855041 -65.006064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13454959--1.13456985) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dl = 129.07646000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13454959--1.13456985) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dr = 129.07646000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91728424-1.91733217) × cos(-1.13454959) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.422540701813531 × 6371000     		do = 129.027886462886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91728424-1.91733217) × cos(-1.13456985) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.42252233919839 × 6371000     		du = 129.02227921745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13454959)-sin(-1.13456985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422540701813531-0.42252233919839)×R²
    abs(1.91733217-1.91728424)×1.83626151410987e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.83626151410987e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.83626151410987e-05×40589641000000     		ar = 16654.1009450289m²