Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105531 / 96965
↖ ↑ ↗
← S 65.003743°
E109.849548°		 ← 129.06 m → S 65.003743°
E109.852295°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
S 65.004903°
E109.849548°		 ← 129.05 m →
16 650 m²		 S 65.004903°
E109.852295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805141448974609 y=0.739788055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805141448974609 × 217)
    floor (0.805141448974609 × 131072)
    floor (105531.5)     		tx = 105531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739788055419922 × 217)
    floor (0.739788055419922 × 131072)
    floor (96965.5)     		ty = 96965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105531 / 96965 ti = "17/105531/96965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105531/96965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105531 ÷ 217
    105531 ÷ 131072     		x = 0.805137634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96965 ÷ 217
    96965 ÷ 131072     		y = 0.739784240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805137634277344 × 2 - 1) × π
    0.610275268554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.91723630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739784240722656 × 2 - 1) × π
    -0.479568481445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.50660881815874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91723630} λ = 1.91723630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50660881815874))-π/2
    2×atan(0.221660395547278)-π/2
    2×0.218133494447148-π/2
    0.436266988894297-1.57079632675     		φ = -1.13452934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91723630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.849548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13452934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.003743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105531 KachelY 96965 1.91723630 -1.13452934 109.849548 -65.003743
    Oben rechts KachelX + 1 105532 KachelY 96965 1.91728424 -1.13452934 109.852295 -65.003743
    Unten links KachelX 105531 KachelY + 1 96966 1.91723630 -1.13454959 109.849548 -65.004903
    Unten rechts KachelX + 1 105532 KachelY + 1 96966 1.91728424 -1.13454959 109.852295 -65.004903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13452934--1.13454959) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13452934--1.13454959) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91723630-1.91728424) × cos(-1.13452934) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422559055191879 × 6371000     		do = 129.060412126194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91723630-1.91728424) × cos(-1.13454959) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422540701813531 × 6371000     		du = 129.05480653203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13452934)-sin(-1.13454959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422559055191879-0.422540701813531)×R²
    abs(1.91728424-1.91723630)×1.83533783477685e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.83533783477685e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.83533783477685e-05×40589641000000     		ar = 16650.0770882997m²