Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10552 / 2552
↖ ↑ ↗
← N 76.880775°
E 51.855468°		 ← 554.57 m → N 76.880775°
E 51.877441°		 →
↑
554.66 m
↓
↑
554.66 m
↓
N 76.875787°
E 51.855468°		 ← 554.78 m →
307 655 m²		 N 76.875787°
E 51.877441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644073486328125 y=0.155792236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644073486328125 × 214)
    floor (0.644073486328125 × 16384)
    floor (10552.5)     		tx = 10552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155792236328125 × 214)
    floor (0.155792236328125 × 16384)
    floor (2552.5)     		ty = 2552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10552 / 2552 ti = "14/10552/2552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10552/2552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10552 ÷ 214
    10552 ÷ 16384     		x = 0.64404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2552 ÷ 214
    2552 ÷ 16384     		y = 0.15576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64404296875 × 2 - 1) × π
    0.2880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90504866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15576171875 × 2 - 1) × π
    0.6884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16291291085693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90504866} λ = 0.90504866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16291291085693))-π/2
    2×atan(8.6964327327532)-π/2
    2×1.45630948727728-π/2
    2.91261897455455-1.57079632675     		φ = 1.34182265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90504866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.855468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34182265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.880775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10552 KachelY 2552 0.90504866 1.34182265 51.855468 76.880775
    Oben rechts KachelX + 1 10553 KachelY 2552 0.90543216 1.34182265 51.877441 76.880775
    Unten links KachelX 10552 KachelY + 1 2553 0.90504866 1.34173559 51.855468 76.875787
    Unten rechts KachelX + 1 10553 KachelY + 1 2553 0.90543216 1.34173559 51.877441 76.875787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34182265-1.34173559) × R
    8.70599999998056e-05 × 6371000     		dl = 554.659259998762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34182265-1.34173559) × R
    8.70599999998056e-05 × 6371000     		dr = 554.659259998762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90504866-0.90543216) × cos(1.34182265) × R
    0.000383500000000092 × 0.226978107226564 × 6371000     		do = 554.570729357491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90504866-0.90543216) × cos(1.34173559) × R
    0.000383500000000092 × 0.227062894088153 × 6371000     		du = 554.777887273494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34182265)-sin(1.34173559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226978107226564-0.227062894088153)×R²
    abs(0.90543216-0.90504866)×8.47868615888869e-05×R²
    0.000383500000000092×8.47868615888869e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.47868615888869e-05×40589641000000     		ar = 307655.241584954m²