Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105514 / 96942
↖ ↑ ↗
← S 64.977036°
E109.802856°		 ← 129.19 m → S 64.977036°
E109.805603°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
S 64.978198°
E109.802856°		 ← 129.18 m →
16 691 m²		 S 64.978198°
E109.805603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805011749267578 y=0.739612579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805011749267578 × 217)
    floor (0.805011749267578 × 131072)
    floor (105514.5)     		tx = 105514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739612579345703 × 217)
    floor (0.739612579345703 × 131072)
    floor (96942.5)     		ty = 96942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105514 / 96942 ti = "17/105514/96942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105514/96942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105514 ÷ 217
    105514 ÷ 131072     		x = 0.805007934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96942 ÷ 217
    96942 ÷ 131072     		y = 0.739608764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805007934570312 × 2 - 1) × π
    0.610015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91642137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739608764648438 × 2 - 1) × π
    -0.479217529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50550626946748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91642137} λ = 1.91642137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50550626946748))-π/2
    2×atan(0.221904921702518)-π/2
    2×0.218366556834174-π/2
    0.436733113668349-1.57079632675     		φ = -1.13406321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91642137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.802856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13406321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.977036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105514 KachelY 96942 1.91642137 -1.13406321 109.802856 -64.977036
    Oben rechts KachelX + 1 105515 KachelY 96942 1.91646931 -1.13406321 109.805603 -64.977036
    Unten links KachelX 105514 KachelY + 1 96943 1.91642137 -1.13408349 109.802856 -64.978198
    Unten rechts KachelX + 1 105515 KachelY + 1 96943 1.91646931 -1.13408349 109.805603 -64.978198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13406321--1.13408349) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dl = 129.203879999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13406321--1.13408349) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dr = 129.203879999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91642137-1.91646931) × cos(-1.13406321) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422981479387171 × 6371000     		do = 129.189431348635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91642137-1.91646931) × cos(-1.13408349) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422963102814914 × 6371000     		du = 129.183818670455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13406321)-sin(-1.13408349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422981479387171-0.422963102814914)×R²
    abs(1.91646931-1.91642137)×1.83765722567841e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.83765722567841e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.83765722567841e-05×40589641000000     		ar = 16691.4131959693m²