Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105513 / 96933
↖ ↑ ↗
← S 64.966578°
E109.800110°		 ← 129.21 m → S 64.966578°
E109.802856°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
S 64.967740°
E109.800110°		 ← 129.21 m →
16 694 m²		 S 64.967740°
E109.802856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805004119873047 y=0.739543914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805004119873047 × 217)
    floor (0.805004119873047 × 131072)
    floor (105513.5)     		tx = 105513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739543914794922 × 217)
    floor (0.739543914794922 × 131072)
    floor (96933.5)     		ty = 96933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105513 / 96933 ti = "17/105513/96933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105513/96933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105513 ÷ 217
    105513 ÷ 131072     		x = 0.805000305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96933 ÷ 217
    96933 ÷ 131072     		y = 0.739540100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805000305175781 × 2 - 1) × π
    0.610000610351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.91637344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739540100097656 × 2 - 1) × π
    -0.479080200195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.5050748373709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91637344} λ = 1.91637344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5050748373709))-π/2
    2×atan(0.222000679263087)-π/2
    2×0.218457818563928-π/2
    0.436915637127857-1.57079632675     		φ = -1.13388069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91637344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.800110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13388069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.966578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105513 KachelY 96933 1.91637344 -1.13388069 109.800110 -64.966578
    Oben rechts KachelX + 1 105514 KachelY 96933 1.91642137 -1.13388069 109.802856 -64.966578
    Unten links KachelX 105513 KachelY + 1 96934 1.91637344 -1.13390097 109.800110 -64.967740
    Unten rechts KachelX + 1 105514 KachelY + 1 96934 1.91642137 -1.13390097 109.802856 -64.967740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13388069--1.13390097) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dl = 129.203879999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13388069--1.13390097) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dr = 129.203879999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91637344-1.91642137) × cos(-1.13388069) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.423146860708233 × 6371000     		do = 129.212984373474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91637344-1.91642137) × cos(-1.13390097) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.423128485701917 × 6371000     		du = 129.207373344244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13388069)-sin(-1.13390097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423146860708233-0.423128485701917)×R²
    abs(1.91642137-1.91637344)×1.83750063163513e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.83750063163513e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.83750063163513e-05×40589641000000     		ar = 16694.4564447841m²