Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105512 / 52232
↖ ↑ ↗
← N 34.288992°
E109.797363°		 ← 252.34 m → N 34.288992°
E109.800110°		 →
↑
252.36 m
↓
↑
252.36 m
↓
N 34.286723°
E109.797363°		 ← 252.35 m →
63 681 m²		 N 34.286723°
E109.800110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804996490478516 y=0.398502349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804996490478516 × 217)
    floor (0.804996490478516 × 131072)
    floor (105512.5)     		tx = 105512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398502349853516 × 217)
    floor (0.398502349853516 × 131072)
    floor (52232.5)     		ty = 52232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105512 / 52232 ti = "17/105512/52232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105512/52232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105512 ÷ 217
    105512 ÷ 131072     		x = 0.80499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52232 ÷ 217
    52232 ÷ 131072     		y = 0.39849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80499267578125 × 2 - 1) × π
    0.6099853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91632550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39849853515625 × 2 - 1) × π
    0.2030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.637752512545227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91632550} λ = 1.91632550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.637752512545227))-π/2
    2×atan(1.89222334848618)-π/2
    2×1.08462606600715-π/2
    2.16925213201429-1.57079632675     		φ = 0.59845581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91632550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.797363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59845581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.288992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105512 KachelY 52232 1.91632550 0.59845581 109.797363 34.288992
    Oben rechts KachelX + 1 105513 KachelY 52232 1.91637344 0.59845581 109.800110 34.288992
    Unten links KachelX 105512 KachelY + 1 52233 1.91632550 0.59841620 109.797363 34.286723
    Unten rechts KachelX + 1 105513 KachelY + 1 52233 1.91637344 0.59841620 109.800110 34.286723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59845581-0.59841620) × R
    3.96100000000787e-05 × 6371000     		dl = 252.355310000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59845581-0.59841620) × R
    3.96100000000787e-05 × 6371000     		dr = 252.355310000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91632550-1.91637344) × cos(0.59845581) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.826206545808571 × 6371000     		do = 252.34474564743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91632550-1.91637344) × cos(0.59841620) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.826228860140197 × 6371000     		du = 252.35156101868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59845581)-sin(0.59841620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826206545808571-0.826228860140197)×R²
    abs(1.91637344-1.91632550)×2.23143316258057e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.23143316258057e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.23143316258057e-05×40589641000000     		ar = 63681.3964707638m²