Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105511 / 96923
↖ ↑ ↗
← S 64.954953°
E109.794617°		 ← 129.30 m → S 64.954953°
E109.797363°		 →
↑
129.27 m
↓
↑
129.27 m
↓
S 64.956116°
E109.794617°		 ← 129.29 m →
16 713 m²		 S 64.956116°
E109.797363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804988861083984 y=0.739467620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804988861083984 × 217)
    floor (0.804988861083984 × 131072)
    floor (105511.5)     		tx = 105511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739467620849609 × 217)
    floor (0.739467620849609 × 131072)
    floor (96923.5)     		ty = 96923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105511 / 96923 ti = "17/105511/96923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105511/96923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105511 ÷ 217
    105511 ÷ 131072     		x = 0.804985046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96923 ÷ 217
    96923 ÷ 131072     		y = 0.739463806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804985046386719 × 2 - 1) × π
    0.609970092773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.91627756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739463806152344 × 2 - 1) × π
    -0.478927612304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.5045954683747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91627756} λ = 1.91627756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5045954683747))-π/2
    2×atan(0.22210712501722)-π/2
    2×0.218559262335064-π/2
    0.437118524670128-1.57079632675     		φ = -1.13367780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91627756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.794617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13367780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.954953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105511 KachelY 96923 1.91627756 -1.13367780 109.794617 -64.954953
    Oben rechts KachelX + 1 105512 KachelY 96923 1.91632550 -1.13367780 109.797363 -64.954953
    Unten links KachelX 105511 KachelY + 1 96924 1.91627756 -1.13369809 109.794617 -64.956116
    Unten rechts KachelX + 1 105512 KachelY + 1 96924 1.91632550 -1.13369809 109.797363 -64.956116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13367780--1.13369809) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dl = 129.267589999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13367780--1.13369809) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dr = 129.267589999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91627756-1.91632550) × cos(-1.13367780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423330682736209 × 6371000     		do = 129.296087039327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91627756-1.91632550) × cos(-1.13369809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423312300411479 × 6371000     		du = 129.290472604193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13367780)-sin(-1.13369809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423330682736209-0.423312300411479)×R²
    abs(1.91632550-1.91627756)×1.83823247302262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83823247302262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83823247302262e-05×40589641000000     		ar = 16713.4306863622m²