Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105511 / 52215
↖ ↑ ↗
← N 34.327560°
E109.794617°		 ← 252.23 m → N 34.327560°
E109.797363°		 →
↑
252.23 m
↓
↑
252.23 m
↓
N 34.325292°
E109.794617°		 ← 252.24 m →
63 620 m²		 N 34.325292°
E109.797363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804988861083984 y=0.398372650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804988861083984 × 217)
    floor (0.804988861083984 × 131072)
    floor (105511.5)     		tx = 105511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398372650146484 × 217)
    floor (0.398372650146484 × 131072)
    floor (52215.5)     		ty = 52215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105511 / 52215 ti = "17/105511/52215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105511/52215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105511 ÷ 217
    105511 ÷ 131072     		x = 0.804985046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52215 ÷ 217
    52215 ÷ 131072     		y = 0.398368835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804985046386719 × 2 - 1) × π
    0.609970092773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.91627756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398368835449219 × 2 - 1) × π
    0.203262329101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.638567439838768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91627756} λ = 1.91627756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638567439838768))-π/2
    2×atan(1.89376600142796)-π/2
    2×1.08496263784841-π/2
    2.16992527569681-1.57079632675     		φ = 0.59912895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91627756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.794617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59912895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.327560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105511 KachelY 52215 1.91627756 0.59912895 109.794617 34.327560
    Oben rechts KachelX + 1 105512 KachelY 52215 1.91632550 0.59912895 109.797363 34.327560
    Unten links KachelX 105511 KachelY + 1 52216 1.91627756 0.59908936 109.794617 34.325292
    Unten rechts KachelX + 1 105512 KachelY + 1 52216 1.91632550 0.59908936 109.797363 34.325292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59912895-0.59908936) × R
    3.95899999999783e-05 × 6371000     		dl = 252.227889999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59912895-0.59908936) × R
    3.95899999999783e-05 × 6371000     		dr = 252.227889999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91627756-1.91632550) × cos(0.59912895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.825827133571292 × 6371000     		do = 252.228863382925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91627756-1.91632550) × cos(0.59908936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.825849458649553 × 6371000     		du = 252.235682036474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59912895)-sin(0.59908936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825827133571292-0.825849458649553)×R²
    abs(1.91632550-1.91627756)×2.23250782606099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23250782606099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23250782606099e-05×40589641000000     		ar = 63620.0139437814m²