Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105510 / 96983
↖ ↑ ↗
← S 65.024626°
E109.791870°		 ← 128.93 m → S 65.024626°
E109.794617°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
S 65.025785°
E109.791870°		 ← 128.93 m →
16 625 m²		 S 65.025785°
E109.794617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804981231689453 y=0.739925384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804981231689453 × 217)
    floor (0.804981231689453 × 131072)
    floor (105510.5)     		tx = 105510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739925384521484 × 217)
    floor (0.739925384521484 × 131072)
    floor (96983.5)     		ty = 96983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105510 / 96983 ti = "17/105510/96983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105510/96983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105510 ÷ 217
    105510 ÷ 131072     		x = 0.804977416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96983 ÷ 217
    96983 ÷ 131072     		y = 0.739921569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804977416992188 × 2 - 1) × π
    0.609954833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91622963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739921569824219 × 2 - 1) × π
    -0.479843139648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.50747168235191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91622963} λ = 1.91622963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50747168235191))-π/2
    2×atan(0.221469215222108)-π/2
    2×0.217951260178183-π/2
    0.435902520356365-1.57079632675     		φ = -1.13489381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91622963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.791870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13489381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.024626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105510 KachelY 96983 1.91622963 -1.13489381 109.791870 -65.024626
    Oben rechts KachelX + 1 105511 KachelY 96983 1.91627756 -1.13489381 109.794617 -65.024626
    Unten links KachelX 105510 KachelY + 1 96984 1.91622963 -1.13491405 109.791870 -65.025785
    Unten rechts KachelX + 1 105511 KachelY + 1 96984 1.91627756 -1.13491405 109.794617 -65.025785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13489381--1.13491405) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13489381--1.13491405) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91622963-1.91627756) × cos(-1.13489381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422228695072422 × 6371000     		do = 128.932611451645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91622963-1.91627756) × cos(-1.13491405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422210347641635 × 6371000     		du = 128.927008842934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13489381)-sin(-1.13491405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422228695072422-0.422210347641635)×R²
    abs(1.91627756-1.91622963)×1.83474307866582e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83474307866582e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83474307866582e-05×40589641000000     		ar = 16625.3752465173m²