Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105510 / 52198
↖ ↑ ↗
← N 34.366111°
E109.791870°		 ← 252.06 m → N 34.366111°
E109.794617°		 →
↑
252.10 m
↓
↑
252.10 m
↓
N 34.363843°
E109.791870°		 ← 252.07 m →
63 545 m²		 N 34.363843°
E109.794617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804981231689453 y=0.398242950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804981231689453 × 217)
    floor (0.804981231689453 × 131072)
    floor (105510.5)     		tx = 105510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398242950439453 × 217)
    floor (0.398242950439453 × 131072)
    floor (52198.5)     		ty = 52198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105510 / 52198 ti = "17/105510/52198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105510/52198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105510 ÷ 217
    105510 ÷ 131072     		x = 0.804977416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52198 ÷ 217
    52198 ÷ 131072     		y = 0.398239135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804977416992188 × 2 - 1) × π
    0.609954833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91622963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398239135742188 × 2 - 1) × π
    0.203521728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.639382367132309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91622963} λ = 1.91622963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639382367132309))-π/2
    2×atan(1.89530991203211)-π/2
    2×1.08529905505143-π/2
    2.17059811010286-1.57079632675     		φ = 0.59980178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91622963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.791870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59980178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.366111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105510 KachelY 52198 1.91622963 0.59980178 109.791870 34.366111
    Oben rechts KachelX + 1 105511 KachelY 52198 1.91627756 0.59980178 109.794617 34.366111
    Unten links KachelX 105510 KachelY + 1 52199 1.91622963 0.59976221 109.791870 34.363843
    Unten rechts KachelX + 1 105511 KachelY + 1 52199 1.91627756 0.59976221 109.794617 34.363843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59980178-0.59976221) × R
    3.95699999999888e-05 × 6371000     		dl = 252.100469999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59980178-0.59976221) × R
    3.95699999999888e-05 × 6371000     		dr = 252.100469999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91622963-1.91627756) × cos(0.59980178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.825447522125822 × 6371000     		do = 252.060331014965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91622963-1.91627756) × cos(0.59976221) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.825469857908238 × 6371000     		du = 252.067151514826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59980178)-sin(0.59976221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825447522125822-0.825469857908238)×R²
    abs(1.91627756-1.91622963)×2.2335782416949e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2335782416949e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2335782416949e-05×40589641000000     		ar = 63545.3876511126m²