Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10551 / 6601
↖ ↑ ↗
← N 80.696007°
W122.041626°		 ← 98.76 m → N 80.696007°
W122.036133°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
N 80.695119°
W122.041626°		 ← 98.77 m →
9 753 m²		 N 80.695119°
W122.036133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161003112792969 y=0.100730895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161003112792969 × 216)
    floor (0.161003112792969 × 65536)
    floor (10551.5)     		tx = 10551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100730895996094 × 216)
    floor (0.100730895996094 × 65536)
    floor (6601.5)     		ty = 6601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10551 / 6601 ti = "16/10551/6601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10551/6601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10551 ÷ 216
    10551 ÷ 65536     		x = 0.160995483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6601 ÷ 216
    6601 ÷ 65536     		y = 0.100723266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.160995483398438 × 2 - 1) × π
    -0.678009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13002820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100723266601562 × 2 - 1) × π
    0.798553466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50872970471602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13002820} λ = -2.13002820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50872970471602))-π/2
    2×atan(12.2893090896082)-π/2
    2×1.48960367302444-π/2
    2.97920734604887-1.57079632675     		φ = 1.40841102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13002820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.041626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40841102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.696007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10551 KachelY 6601 -2.13002820 1.40841102 -122.041626 80.696007
    Oben rechts KachelX + 1 10552 KachelY 6601 -2.12993232 1.40841102 -122.036133 80.696007
    Unten links KachelX 10551 KachelY + 1 6602 -2.13002820 1.40839552 -122.041626 80.695119
    Unten rechts KachelX + 1 10552 KachelY + 1 6602 -2.12993232 1.40839552 -122.036133 80.695119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40841102-1.40839552) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40841102-1.40839552) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13002820--2.12993232) × cos(1.40841102) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.161672591093069 × 6371000     		do = 98.7579415445715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13002820--2.12993232) × cos(1.40839552) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16168788716266 × 6371000     		du = 98.7672851713193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40841102)-sin(1.40839552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161672591093069-0.16168788716266)×R²
    abs(-2.12993232--2.13002820)×1.52960695910809e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.52960695910809e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.52960695910809e-05×40589641000000     		ar = 9752.85745067505m²