Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10551 / 2555
↖ ↑ ↗
← N 76.865804°
E 51.833496°		 ← 555.18 m → N 76.865804°
E 51.855468°		 →
↑
555.30 m
↓
↑
555.30 m
↓
N 76.860811°
E 51.833496°		 ← 555.39 m →
308 346 m²		 N 76.860811°
E 51.855468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644012451171875 y=0.155975341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644012451171875 × 214)
    floor (0.644012451171875 × 16384)
    floor (10551.5)     		tx = 10551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155975341796875 × 214)
    floor (0.155975341796875 × 16384)
    floor (2555.5)     		ty = 2555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10551 / 2555 ti = "14/10551/2555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10551/2555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10551 ÷ 214
    10551 ÷ 16384     		x = 0.64398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2555 ÷ 214
    2555 ÷ 16384     		y = 0.15594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64398193359375 × 2 - 1) × π
    0.2879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90466517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15594482421875 × 2 - 1) × π
    0.6881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16176242526605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90466517} λ = 0.90466517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16176242526605))-π/2
    2×atan(8.68643336536908)-π/2
    2×1.45617884658158-π/2
    2.91235769316316-1.57079632675     		φ = 1.34156137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90466517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.833496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34156137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.865804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10551 KachelY 2555 0.90466517 1.34156137 51.833496 76.865804
    Oben rechts KachelX + 1 10552 KachelY 2555 0.90504866 1.34156137 51.855468 76.865804
    Unten links KachelX 10551 KachelY + 1 2556 0.90466517 1.34147421 51.833496 76.860811
    Unten rechts KachelX + 1 10552 KachelY + 1 2556 0.90504866 1.34147421 51.855468 76.860811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34156137-1.34147421) × R
    8.71600000000861e-05 × 6371000     		dl = 555.296360000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34156137-1.34147421) × R
    8.71600000000861e-05 × 6371000     		dr = 555.296360000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90466517-0.90504866) × cos(1.34156137) × R
    0.000383489999999931 × 0.22723256003171 × 6371000     		do = 555.177951438938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90466517-0.90504866) × cos(1.34147421) × R
    0.000383489999999931 × 0.227317439108434 × 6371000     		du = 555.385329254551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34156137)-sin(1.34147421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22723256003171-0.227317439108434)×R²
    abs(0.90504866-0.90466517)×8.48790767239427e-05×R²
    0.000383489999999931×8.48790767239427e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.48790767239427e-05×40589641000000     		ar = 308345.873854265m²