Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105508 / 52196
↖ ↑ ↗
← N 34.370645°
E109.786377°		 ← 252.10 m → N 34.370645°
E109.789124°		 →
↑
252.10 m
↓
↑
252.10 m
↓
N 34.368378°
E109.786377°		 ← 252.11 m →
63 555 m²		 N 34.368378°
E109.789124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804965972900391 y=0.398227691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804965972900391 × 217)
    floor (0.804965972900391 × 131072)
    floor (105508.5)     		tx = 105508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398227691650391 × 217)
    floor (0.398227691650391 × 131072)
    floor (52196.5)     		ty = 52196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105508 / 52196 ti = "17/105508/52196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105508/52196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105508 ÷ 217
    105508 ÷ 131072     		x = 0.804962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52196 ÷ 217
    52196 ÷ 131072     		y = 0.398223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804962158203125 × 2 - 1) × π
    0.60992431640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91613375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398223876953125 × 2 - 1) × π
    0.20355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.639478240931549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91613375} λ = 1.91613375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639478240931549))-π/2
    2×atan(1.89549163130503)-π/2
    2×1.08533862337561-π/2
    2.17067724675121-1.57079632675     		φ = 0.59988092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91613375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.786377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59988092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.370645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105508 KachelY 52196 1.91613375 0.59988092 109.786377 34.370645
    Oben rechts KachelX + 1 105509 KachelY 52196 1.91618169 0.59988092 109.789124 34.370645
    Unten links KachelX 105508 KachelY + 1 52197 1.91613375 0.59984135 109.786377 34.368378
    Unten rechts KachelX + 1 105509 KachelY + 1 52197 1.91618169 0.59984135 109.789124 34.368378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59988092-0.59984135) × R
    3.95699999999888e-05 × 6371000     		dl = 252.100469999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59988092-0.59984135) × R
    3.95699999999888e-05 × 6371000     		dr = 252.100469999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91613375-1.91618169) × cos(0.59988092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.825402846683603 × 6371000     		do = 252.099275246281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91613375-1.91618169) × cos(0.59984135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.825425185050931 × 6371000     		du = 252.106097958652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59988092)-sin(0.59984135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825402846683603-0.825425185050931)×R²
    abs(1.91618169-1.91613375)×2.23383673285671e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23383673285671e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23383673285671e-05×40589641000000     		ar = 63555.2057891244m²