Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105505 / 96993
↖ ↑ ↗
← S 65.036220°
E109.778137°		 ← 128.90 m → S 65.036220°
E109.780884°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
S 65.037379°
E109.778137°		 ← 128.90 m →
16 613 m²		 S 65.037379°
E109.780884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804943084716797 y=0.740001678466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804943084716797 × 217)
    floor (0.804943084716797 × 131072)
    floor (105505.5)     		tx = 105505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740001678466797 × 217)
    floor (0.740001678466797 × 131072)
    floor (96993.5)     		ty = 96993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105505 / 96993 ti = "17/105505/96993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105505/96993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105505 ÷ 217
    105505 ÷ 131072     		x = 0.804939270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96993 ÷ 217
    96993 ÷ 131072     		y = 0.739997863769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804939270019531 × 2 - 1) × π
    0.609878540039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.91598994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739997863769531 × 2 - 1) × π
    -0.479995727539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.50795105134811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91598994} λ = 1.91598994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50795105134811))-π/2
    2×atan(0.221363075188871)-π/2
    2×0.217850080490287-π/2
    0.435700160980573-1.57079632675     		φ = -1.13509617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91598994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.778137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13509617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.036220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105505 KachelY 96993 1.91598994 -1.13509617 109.778137 -65.036220
    Oben rechts KachelX + 1 105506 KachelY 96993 1.91603788 -1.13509617 109.780884 -65.036220
    Unten links KachelX 105505 KachelY + 1 96994 1.91598994 -1.13511640 109.778137 -65.037379
    Unten rechts KachelX + 1 105506 KachelY + 1 96994 1.91603788 -1.13511640 109.780884 -65.037379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13509617--1.13511640) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13509617--1.13511640) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91598994-1.91603788) × cos(-1.13509617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422045249245173 × 6371000     		do = 128.903482564107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91598994-1.91603788) × cos(-1.13511640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422026909151282 × 6371000     		du = 128.897881027359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13509617)-sin(-1.13511640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422045249245173-0.422026909151282)×R²
    abs(1.91603788-1.91598994)×1.83400938904565e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83400938904565e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83400938904565e-05×40589641000000     		ar = 16613.4069111359m²