Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105505 / 43490
↖ ↑ ↗
← N 51.669148°
E109.778137°		 ← 189.43 m → N 51.669148°
E109.780884°		 →
↑
189.41 m
↓
↑
189.41 m
↓
N 51.667445°
E109.778137°		 ← 189.43 m →
35 880 m²		 N 51.667445°
E109.780884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804943084716797 y=0.331806182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804943084716797 × 217)
    floor (0.804943084716797 × 131072)
    floor (105505.5)     		tx = 105505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331806182861328 × 217)
    floor (0.331806182861328 × 131072)
    floor (43490.5)     		ty = 43490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105505 / 43490 ti = "17/105505/43490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105505/43490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105505 ÷ 217
    105505 ÷ 131072     		x = 0.804939270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43490 ÷ 217
    43490 ÷ 131072     		y = 0.331802368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804939270019531 × 2 - 1) × π
    0.609878540039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.91598994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331802368164062 × 2 - 1) × π
    0.336395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05681688902376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91598994} λ = 1.91598994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05681688902376))-π/2
    2×atan(2.87719795722525)-π/2
    2×1.23629654409726-π/2
    2.47259308819452-1.57079632675     		φ = 0.90179676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91598994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.778137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90179676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.669148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105505 KachelY 43490 1.91598994 0.90179676 109.778137 51.669148
    Oben rechts KachelX + 1 105506 KachelY 43490 1.91603788 0.90179676 109.780884 51.669148
    Unten links KachelX 105505 KachelY + 1 43491 1.91598994 0.90176703 109.778137 51.667445
    Unten rechts KachelX + 1 105506 KachelY + 1 43491 1.91603788 0.90176703 109.780884 51.667445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90179676-0.90176703) × R
    2.97299999999501e-05 × 6371000     		dl = 189.409829999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90179676-0.90176703) × R
    2.97299999999501e-05 × 6371000     		dr = 189.409829999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91598994-1.91603788) × cos(0.90179676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6202015151839 × 6371000     		do = 189.42550672404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91598994-1.91603788) × cos(0.90176703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62022483638618 × 6371000     		du = 189.432629619504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90179676)-sin(0.90176703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6202015151839-0.62022483638618)×R²
    abs(1.91603788-1.91598994)×2.33212022799911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33212022799911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33212022799911e-05×40589641000000     		ar = 35879.727602158m²