Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105502 / 52202
↖ ↑ ↗
← N 34.357042°
E109.769897°		 ← 252.14 m → N 34.357042°
E109.772644°		 →
↑
252.16 m
↓
↑
252.16 m
↓
N 34.354774°
E109.769897°		 ← 252.15 m →
63 582 m²		 N 34.354774°
E109.772644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804920196533203 y=0.398273468017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804920196533203 × 217)
    floor (0.804920196533203 × 131072)
    floor (105502.5)     		tx = 105502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398273468017578 × 217)
    floor (0.398273468017578 × 131072)
    floor (52202.5)     		ty = 52202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105502 / 52202 ti = "17/105502/52202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105502/52202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105502 ÷ 217
    105502 ÷ 131072     		x = 0.804916381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52202 ÷ 217
    52202 ÷ 131072     		y = 0.398269653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804916381835938 × 2 - 1) × π
    0.609832763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91584613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398269653320312 × 2 - 1) × π
    0.203460693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.639190619533829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91584613} λ = 1.91584613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639190619533829))-π/2
    2×atan(1.89494652574844)-π/2
    2×1.08521991197888-π/2
    2.17043982395775-1.57079632675     		φ = 0.59964350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91584613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.769897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59964350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.357042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105502 KachelY 52202 1.91584613 0.59964350 109.769897 34.357042
    Oben rechts KachelX + 1 105503 KachelY 52202 1.91589407 0.59964350 109.772644 34.357042
    Unten links KachelX 105502 KachelY + 1 52203 1.91584613 0.59960392 109.769897 34.354774
    Unten rechts KachelX + 1 105503 KachelY + 1 52203 1.91589407 0.59960392 109.772644 34.354774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59964350-0.59960392) × R
    3.9580000000039e-05 × 6371000     		dl = 252.164180000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59964350-0.59960392) × R
    3.9580000000039e-05 × 6371000     		dr = 252.164180000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91584613-1.91589407) × cos(0.59964350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8255368575003 × 6371000     		do = 252.140205599138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91584613-1.91589407) × cos(0.59960392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.82555919375563 × 6371000     		du = 252.147027666451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59964350)-sin(0.59960392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8255368575003-0.82555919375563)×R²
    abs(1.91589407-1.91584613)×2.2336255329658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2336255329658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2336255329658e-05×40589641000000     		ar = 63581.5883386816m²