Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1055 / 3121
↖ ↑ ↗
← N 39.334297°
W133.637695°		 ← 3 779.51 m → N 39.334297°
W133.593750°		 →
↑
3 780.42 m
↓
↑
3 780.42 m
↓
N 39.300299°
W133.637695°		 ← 3 781.35 m →
14 291 630 m²		 N 39.300299°
W133.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12884521484375 y=0.38104248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12884521484375 × 213)
    floor (0.12884521484375 × 8192)
    floor (1055.5)     		tx = 1055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38104248046875 × 213)
    floor (0.38104248046875 × 8192)
    floor (3121.5)     		ty = 3121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1055 / 3121 ti = "13/1055/3121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1055/3121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1055 ÷ 213
    1055 ÷ 8192     		x = 0.1287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3121 ÷ 213
    3121 ÷ 8192     		y = 0.3809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33241779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3809814453125 × 2 - 1) × π
    0.238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.747815634072876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33241779} λ = -2.33241779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.747815634072876))-π/2
    2×atan(2.11238076081786)-π/2
    2×1.12865466294362-π/2
    2.25730932588724-1.57079632675     		φ = 0.68651300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33241779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68651300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.334297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1055 KachelY 3121 -2.33241779 0.68651300 -133.637695 39.334297
    Oben rechts KachelX + 1 1056 KachelY 3121 -2.33165080 0.68651300 -133.593750 39.334297
    Unten links KachelX 1055 KachelY + 1 3122 -2.33241779 0.68591962 -133.637695 39.300299
    Unten rechts KachelX + 1 1056 KachelY + 1 3122 -2.33165080 0.68591962 -133.593750 39.300299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68651300-0.68591962) × R
    0.000593380000000088 × 6371000     		dl = 3780.42398000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68651300-0.68591962) × R
    0.000593380000000088 × 6371000     		dr = 3780.42398000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33241779--2.33165080) × cos(0.68651300) × R
    0.000766990000000245 × 0.773460926802857 × 6371000     		do = 3779.51162890055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33241779--2.33165080) × cos(0.68591962) × R
    0.000766990000000245 × 0.773836900955659 × 6371000     		du = 3781.34882407543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68651300)-sin(0.68591962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773460926802857-0.773836900955659)×R²
    abs(-2.33165080--2.33241779)×0.000375974152801439×R²
    0.000766990000000245×0.000375974152801439×6371000²
    0.000766990000000245×0.000375974152801439×40589641000000     		ar = 14291629.5022754m²