Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1055 / 3109
↖ ↑ ↗
← N 39.740986°
W133.637695°		 ← 3 757.43 m → N 39.740986°
W133.593750°		 →
↑
3 758.38 m
↓
↑
3 758.38 m
↓
N 39.707186°
W133.637695°		 ← 3 759.27 m →
14 125 321 m²		 N 39.707186°
W133.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12884521484375 y=0.37957763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12884521484375 × 213)
    floor (0.12884521484375 × 8192)
    floor (1055.5)     		tx = 1055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37957763671875 × 213)
    floor (0.37957763671875 × 8192)
    floor (3109.5)     		ty = 3109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1055 / 3109 ti = "13/1055/3109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1055/3109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1055 ÷ 213
    1055 ÷ 8192     		x = 0.1287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3109 ÷ 213
    3109 ÷ 8192     		y = 0.3795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33241779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3795166015625 × 2 - 1) × π
    0.240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.757019518799927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33241779} λ = -2.33241779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757019518799927))-π/2
    2×atan(2.131912616433)-π/2
    2×1.13220369333928-π/2
    2.26440738667857-1.57079632675     		φ = 0.69361106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33241779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69361106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.740986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1055 KachelY 3109 -2.33241779 0.69361106 -133.637695 39.740986
    Oben rechts KachelX + 1 1056 KachelY 3109 -2.33165080 0.69361106 -133.593750 39.740986
    Unten links KachelX 1055 KachelY + 1 3110 -2.33241779 0.69302114 -133.637695 39.707186
    Unten rechts KachelX + 1 1056 KachelY + 1 3110 -2.33165080 0.69302114 -133.593750 39.707186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69361106-0.69302114) × R
    0.000589919999999911 × 6371000     		dl = 3758.38031999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69361106-0.69302114) × R
    0.000589919999999911 × 6371000     		dr = 3758.38031999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33241779--2.33165080) × cos(0.69361106) × R
    0.000766990000000245 × 0.768942417611527 × 6371000     		do = 3757.43196405631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33241779--2.33165080) × cos(0.69302114) × R
    0.000766990000000245 × 0.769319430290659 × 6371000     		du = 3759.27423398313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69361106)-sin(0.69302114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768942417611527-0.769319430290659)×R²
    abs(-2.33165080--2.33241779)×0.000377012679131483×R²
    0.000766990000000245×0.000377012679131483×6371000²
    0.000766990000000245×0.000377012679131483×40589641000000     		ar = 14125320.732606m²