Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105496 / 96994
↖ ↑ ↗
← S 65.037379°
E109.753418°		 ← 128.90 m → S 65.037379°
E109.756165°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
S 65.038538°
E109.753418°		 ← 128.89 m →
16 613 m²		 S 65.038538°
E109.756165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804874420166016 y=0.740009307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804874420166016 × 217)
    floor (0.804874420166016 × 131072)
    floor (105496.5)     		tx = 105496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740009307861328 × 217)
    floor (0.740009307861328 × 131072)
    floor (96994.5)     		ty = 96994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105496 / 96994 ti = "17/105496/96994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105496/96994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105496 ÷ 217
    105496 ÷ 131072     		x = 0.80487060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96994 ÷ 217
    96994 ÷ 131072     		y = 0.740005493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80487060546875 × 2 - 1) × π
    0.6097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91555851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740005493164062 × 2 - 1) × π
    -0.480010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50799898824773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91555851} λ = 1.91555851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50799898824773))-π/2
    2×atan(0.221352463983692)-π/2
    2×0.217839964939626-π/2
    0.435679929879253-1.57079632675     		φ = -1.13511640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91555851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.753418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13511640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.037379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105496 KachelY 96994 1.91555851 -1.13511640 109.753418 -65.037379
    Oben rechts KachelX + 1 105497 KachelY 96994 1.91560645 -1.13511640 109.756165 -65.037379
    Unten links KachelX 105496 KachelY + 1 96995 1.91555851 -1.13513663 109.753418 -65.038538
    Unten rechts KachelX + 1 105497 KachelY + 1 96995 1.91560645 -1.13513663 109.756165 -65.038538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13511640--1.13513663) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13511640--1.13513663) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91555851-1.91560645) × cos(-1.13511640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422026909151282 × 6371000     		do = 128.897881027359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91555851-1.91560645) × cos(-1.13513663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422008568884676 × 6371000     		du = 128.892279437859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13511640)-sin(-1.13513663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422026909151282-0.422008568884676)×R²
    abs(1.91560645-1.91555851)×1.83402666062427e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83402666062427e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83402666062427e-05×40589641000000     		ar = 16612.6849517591m²