Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105492 / 97148
↖ ↑ ↗
← S 65.215289°
E109.742432°		 ← 128.04 m → S 65.215289°
E109.745178°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
S 65.216440°
E109.742432°		 ← 128.03 m →
16 396 m²		 S 65.216440°
E109.745178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804843902587891 y=0.741184234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804843902587891 × 217)
    floor (0.804843902587891 × 131072)
    floor (105492.5)     		tx = 105492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741184234619141 × 217)
    floor (0.741184234619141 × 131072)
    floor (97148.5)     		ty = 97148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105492 / 97148 ti = "17/105492/97148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105492/97148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105492 ÷ 217
    105492 ÷ 131072     		x = 0.804840087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97148 ÷ 217
    97148 ÷ 131072     		y = 0.741180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804840087890625 × 2 - 1) × π
    0.60968017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91536676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.48236083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51538127078922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91536676} λ = 1.91536676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51538127078922))-π/2
    2×atan(0.219724394382092)-π/2
    2×0.216287407654577-π/2
    0.432574815309154-1.57079632675     		φ = -1.13822151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91536676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.742432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13822151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.215289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105492 KachelY 97148 1.91536676 -1.13822151 109.742432 -65.215289
    Oben rechts KachelX + 1 105493 KachelY 97148 1.91541470 -1.13822151 109.745178 -65.215289
    Unten links KachelX 105492 KachelY + 1 97149 1.91536676 -1.13824161 109.742432 -65.216440
    Unten rechts KachelX + 1 105493 KachelY + 1 97149 1.91541470 -1.13824161 109.745178 -65.216440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13822151--1.13824161) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13822151--1.13824161) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91536676-1.91541470) × cos(-1.13822151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419209838261855 × 6371000     		do = 128.037475066323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91536676-1.91541470) × cos(-1.13824161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419191589600799 × 6371000     		du = 128.031901455516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13822151)-sin(-1.13824161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419209838261855-0.419191589600799)×R²
    abs(1.91541470-1.91536676)×1.82486610552646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82486610552646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82486610552646e-05×40589641000000     		ar = 16395.7508785309m²