Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105487 / 97207
↖ ↑ ↗
← S 65.283134°
E109.728699°		 ← 127.68 m → S 65.283134°
E109.731445°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
S 65.284283°
E109.728699°		 ← 127.68 m →
16 310 m²		 S 65.284283°
E109.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804805755615234 y=0.741634368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804805755615234 × 217)
    floor (0.804805755615234 × 131072)
    floor (105487.5)     		tx = 105487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741634368896484 × 217)
    floor (0.741634368896484 × 131072)
    floor (97207.5)     		ty = 97207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105487 / 97207 ti = "17/105487/97207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105487/97207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105487 ÷ 217
    105487 ÷ 131072     		x = 0.804801940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97207 ÷ 217
    97207 ÷ 131072     		y = 0.741630554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804801940917969 × 2 - 1) × π
    0.609603881835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.91512708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741630554199219 × 2 - 1) × π
    -0.483261108398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.5182095478668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91512708} λ = 1.91512708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5182095478668))-π/2
    2×atan(0.21910383089049)-π/2
    2×0.215695347467324-π/2
    0.431390694934647-1.57079632675     		φ = -1.13940563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91512708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.728699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13940563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.283134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105487 KachelY 97207 1.91512708 -1.13940563 109.728699 -65.283134
    Oben rechts KachelX + 1 105488 KachelY 97207 1.91517501 -1.13940563 109.731445 -65.283134
    Unten links KachelX 105487 KachelY + 1 97208 1.91512708 -1.13942568 109.728699 -65.284283
    Unten rechts KachelX + 1 105488 KachelY + 1 97208 1.91517501 -1.13942568 109.731445 -65.284283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13940563--1.13942568) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13940563--1.13942568) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91512708-1.91517501) × cos(-1.13940563) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418134494654653 × 6371000     		do = 127.682398100847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91512708-1.91517501) × cos(-1.13942568) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418116281448753 × 6371000     		du = 127.676836479321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13940563)-sin(-1.13942568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418134494654653-0.418116281448753)×R²
    abs(1.91517501-1.91512708)×1.8213205900619e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8213205900619e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8213205900619e-05×40589641000000     		ar = 16309.6091778092m²