Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105486 / 52230
↖ ↑ ↗
← N 34.293530°
E109.725952°		 ← 252.33 m → N 34.293530°
E109.728699°		 →
↑
252.29 m
↓
↑
252.29 m
↓
N 34.291261°
E109.725952°		 ← 252.34 m →
63 662 m²		 N 34.291261°
E109.728699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804798126220703 y=0.398487091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804798126220703 × 217)
    floor (0.804798126220703 × 131072)
    floor (105486.5)     		tx = 105486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398487091064453 × 217)
    floor (0.398487091064453 × 131072)
    floor (52230.5)     		ty = 52230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105486 / 52230 ti = "17/105486/52230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105486/52230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105486 ÷ 217
    105486 ÷ 131072     		x = 0.804794311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52230 ÷ 217
    52230 ÷ 131072     		y = 0.398483276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804794311523438 × 2 - 1) × π
    0.609588623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91507914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398483276367188 × 2 - 1) × π
    0.203033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.637848386344467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91507914} λ = 1.91507914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.637848386344467))-π/2
    2×atan(1.89240477182435)-π/2
    2×1.08466567071791-π/2
    2.16933134143582-1.57079632675     		φ = 0.59853501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91507914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.725952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59853501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.293530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105486 KachelY 52230 1.91507914 0.59853501 109.725952 34.293530
    Oben rechts KachelX + 1 105487 KachelY 52230 1.91512708 0.59853501 109.728699 34.293530
    Unten links KachelX 105486 KachelY + 1 52231 1.91507914 0.59849541 109.725952 34.291261
    Unten rechts KachelX + 1 105487 KachelY + 1 52231 1.91512708 0.59849541 109.728699 34.291261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59853501-0.59849541) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dl = 252.291600000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59853501-0.59849541) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dr = 252.291600000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91507914-1.91512708) × cos(0.59853501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.826161924525175 × 6371000     		do = 252.33111715776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91507914-1.91512708) × cos(0.59849541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.826184235814667 × 6371000     		du = 252.337931599864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59853501)-sin(0.59849541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826161924525175-0.826184235814667)×R²
    abs(1.91512708-1.91507914)×2.23112894928157e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23112894928157e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23112894928157e-05×40589641000000     		ar = 63661.8808992065m²