Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105485 / 97181
↖ ↑ ↗
← S 65.253257°
E109.723205°		 ← 127.85 m → S 65.253257°
E109.725952°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
S 65.254407°
E109.723205°		 ← 127.85 m →
16 348 m²		 S 65.254407°
E109.725952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804790496826172 y=0.741436004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804790496826172 × 217)
    floor (0.804790496826172 × 131072)
    floor (105485.5)     		tx = 105485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741436004638672 × 217)
    floor (0.741436004638672 × 131072)
    floor (97181.5)     		ty = 97181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105485 / 97181 ti = "17/105485/97181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105485/97181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105485 ÷ 217
    105485 ÷ 131072     		x = 0.804786682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97181 ÷ 217
    97181 ÷ 131072     		y = 0.741432189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804786682128906 × 2 - 1) × π
    0.609573364257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.91503120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741432189941406 × 2 - 1) × π
    -0.482864379882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.51696318847668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91503120} λ = 1.91503120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51696318847668))-π/2
    2×atan(0.219377083257486)-π/2
    2×0.215956067944006-π/2
    0.431912135888011-1.57079632675     		φ = -1.13888419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91503120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.723205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13888419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.253257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105485 KachelY 97181 1.91503120 -1.13888419 109.723205 -65.253257
    Oben rechts KachelX + 1 105486 KachelY 97181 1.91507914 -1.13888419 109.725952 -65.253257
    Unten links KachelX 105485 KachelY + 1 97182 1.91503120 -1.13890426 109.723205 -65.254407
    Unten rechts KachelX + 1 105486 KachelY + 1 97182 1.91507914 -1.13890426 109.725952 -65.254407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13888419--1.13890426) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13888419--1.13890426) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91503120-1.91507914) × cos(-1.13888419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418608106130053 × 6371000     		do = 127.853690584686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91503120-1.91507914) × cos(-1.13890426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418589879134569 × 6371000     		du = 127.848123591102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13888419)-sin(-1.13890426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418608106130053-0.418589879134569)×R²
    abs(1.91507914-1.91503120)×1.82269954846492e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82269954846492e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82269954846492e-05×40589641000000     		ar = 16347.7802506326m²