Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105471 / 52227
↖ ↑ ↗
← N 34.300337°
E109.684754°		 ← 252.26 m → N 34.300337°
E109.687500°		 →
↑
252.29 m
↓
↑
252.29 m
↓
N 34.298068°
E109.684754°		 ← 252.26 m →
63 643 m²		 N 34.298068°
E109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804683685302734 y=0.398464202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804683685302734 × 217)
    floor (0.804683685302734 × 131072)
    floor (105471.5)     		tx = 105471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398464202880859 × 217)
    floor (0.398464202880859 × 131072)
    floor (52227.5)     		ty = 52227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105471 / 52227 ti = "17/105471/52227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105471/52227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105471 ÷ 217
    105471 ÷ 131072     		x = 0.804679870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52227 ÷ 217
    52227 ÷ 131072     		y = 0.398460388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804679870605469 × 2 - 1) × π
    0.609359741210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.91436009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398460388183594 × 2 - 1) × π
    0.203079223632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.637992197043327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91436009} λ = 1.91436009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.637992197043327))-π/2
    2×atan(1.89267693944695)-π/2
    2×1.08472507377277-π/2
    2.16945014754554-1.57079632675     		φ = 0.59865382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91436009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.684754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59865382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.300337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105471 KachelY 52227 1.91436009 0.59865382 109.684754 34.300337
    Oben rechts KachelX + 1 105472 KachelY 52227 1.91440802 0.59865382 109.687500 34.300337
    Unten links KachelX 105471 KachelY + 1 52228 1.91436009 0.59861422 109.684754 34.298068
    Unten rechts KachelX + 1 105472 KachelY + 1 52228 1.91440802 0.59861422 109.687500 34.298068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59865382-0.59861422) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dl = 252.291600000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59865382-0.59861422) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dr = 252.291600000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91436009-1.91440802) × cos(0.59865382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.826094977248202 × 6371000     		do = 252.258039225469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91436009-1.91440802) × cos(0.59861422) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.82611729242458 × 6371000     		du = 252.264853433028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59865382)-sin(0.59861422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826094977248202-0.82611729242458)×R²
    abs(1.91440802-1.91436009)×2.23151763774077e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23151763774077e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23151763774077e-05×40589641000000     		ar = 63643.4439212307m²