Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105471 / 52223
↖ ↑ ↗
← N 34.309412°
E109.684754°		 ← 252.23 m → N 34.309412°
E109.687500°		 →
↑
252.23 m
↓
↑
252.23 m
↓
N 34.307144°
E109.684754°		 ← 252.24 m →
63 620 m²		 N 34.307144°
E109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804683685302734 y=0.398433685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804683685302734 × 217)
    floor (0.804683685302734 × 131072)
    floor (105471.5)     		tx = 105471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398433685302734 × 217)
    floor (0.398433685302734 × 131072)
    floor (52223.5)     		ty = 52223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105471 / 52223 ti = "17/105471/52223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105471/52223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105471 ÷ 217
    105471 ÷ 131072     		x = 0.804679870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52223 ÷ 217
    52223 ÷ 131072     		y = 0.398429870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804679870605469 × 2 - 1) × π
    0.609359741210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.91436009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398429870605469 × 2 - 1) × π
    0.203140258789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.638183944641808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91436009} λ = 1.91436009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638183944641808))-π/2
    2×atan(1.89303989050117)-π/2
    2×1.0848042703575-π/2
    2.16960854071501-1.57079632675     		φ = 0.59881221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91436009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.684754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59881221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.309412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105471 KachelY 52223 1.91436009 0.59881221 109.684754 34.309412
    Oben rechts KachelX + 1 105472 KachelY 52223 1.91440802 0.59881221 109.687500 34.309412
    Unten links KachelX 105471 KachelY + 1 52224 1.91436009 0.59877262 109.684754 34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 105472 KachelY + 1 52224 1.91440802 0.59877262 109.687500 34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59881221-0.59877262) × R
    3.95899999999783e-05 × 6371000     		dl = 252.227889999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59881221-0.59877262) × R
    3.95899999999783e-05 × 6371000     		dr = 252.227889999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91436009-1.91440802) × cos(0.59881221) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.82600570922517 × 6371000     		do = 252.230780160742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91436009-1.91440802) × cos(0.59877262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 252.237594229351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59881221)-sin(0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82600570922517-0.826028023946516)×R²
    abs(1.91440802-1.91436009)×2.23147213461727e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23147213461727e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23147213461727e-05×40589641000000     		ar = 63620.4968303824m²