Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105463 / 54295
↖ ↑ ↗
← N 29.480252°
E109.662781°		 ← 265.88 m → N 29.480252°
E109.665527°		 →
↑
265.93 m
↓
↑
265.93 m
↓
N 29.477861°
E109.662781°		 ← 265.89 m →
70 705 m²		 N 29.477861°
E109.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804622650146484 y=0.414241790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804622650146484 × 217)
    floor (0.804622650146484 × 131072)
    floor (105463.5)     		tx = 105463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414241790771484 × 217)
    floor (0.414241790771484 × 131072)
    floor (54295.5)     		ty = 54295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105463 / 54295 ti = "17/105463/54295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105463/54295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105463 ÷ 217
    105463 ÷ 131072     		x = 0.804618835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54295 ÷ 217
    54295 ÷ 131072     		y = 0.414237976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804618835449219 × 2 - 1) × π
    0.609237670898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.91397659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414237976074219 × 2 - 1) × π
    0.171524047851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.538858688629051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91397659} λ = 1.91397659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.538858688629051))-π/2
    2×atan(1.71404948124346)-π/2
    2×1.04266189593681-π/2
    2.08532379187363-1.57079632675     		φ = 0.51452747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91397659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.662781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51452747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.480252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105463 KachelY 54295 1.91397659 0.51452747 109.662781 29.480252
    Oben rechts KachelX + 1 105464 KachelY 54295 1.91402453 0.51452747 109.665527 29.480252
    Unten links KachelX 105463 KachelY + 1 54296 1.91397659 0.51448573 109.662781 29.477861
    Unten rechts KachelX + 1 105464 KachelY + 1 54296 1.91402453 0.51448573 109.665527 29.477861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51452747-0.51448573) × R
    4.17400000000123e-05 × 6371000     		dl = 265.925540000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51452747-0.51448573) × R
    4.17400000000123e-05 × 6371000     		dr = 265.925540000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91397659-1.91402453) × cos(0.51452747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87052536262014 × 6371000     		do = 265.88085306685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91397659-1.91402453) × cos(0.51448573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.870545903098978 × 6371000     		du = 265.887126657799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51452747)-sin(0.51448573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87052536262014-0.870545903098978)×R²
    abs(1.91402453-1.91397659)×2.05404788382602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.05404788382602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.05404788382602e-05×40589641000000     		ar = 70705.3435917883m²