Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10544 / 2520
↖ ↑ ↗
← N 77.039419°
E 51.679687°		 ← 547.98 m → N 77.039419°
E 51.701660°		 →
↑
548.10 m
↓
↑
548.10 m
↓
N 77.034490°
E 51.679687°		 ← 548.18 m →
300 402 m²		 N 77.034490°
E 51.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643585205078125 y=0.153839111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643585205078125 × 214)
    floor (0.643585205078125 × 16384)
    floor (10544.5)     		tx = 10544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153839111328125 × 214)
    floor (0.153839111328125 × 16384)
    floor (2520.5)     		ty = 2520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10544 / 2520 ti = "14/10544/2520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10544/2520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10544 ÷ 214
    10544 ÷ 16384     		x = 0.6435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2520 ÷ 214
    2520 ÷ 16384     		y = 0.15380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6435546875 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90198070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15380859375 × 2 - 1) × π
    0.6923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17518475715967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90198070} λ = 0.90198070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17518475715967))-π/2
    2×atan(8.80381153915112)-π/2
    2×1.45769391621412-π/2
    2.91538783242824-1.57079632675     		φ = 1.34459151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90198070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.679687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34459151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.039419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10544 KachelY 2520 0.90198070 1.34459151 51.679687 77.039419
    Oben rechts KachelX + 1 10545 KachelY 2520 0.90236420 1.34459151 51.701660 77.039419
    Unten links KachelX 10544 KachelY + 1 2521 0.90198070 1.34450548 51.679687 77.034490
    Unten rechts KachelX + 1 10545 KachelY + 1 2521 0.90236420 1.34450548 51.701660 77.034490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34459151-1.34450548) × R
    8.60300000000702e-05 × 6371000     		dl = 548.097130000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34459151-1.34450548) × R
    8.60300000000702e-05 × 6371000     		dr = 548.097130000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90198070-0.90236420) × cos(1.34459151) × R
    0.000383499999999981 × 0.224280648230635 × 6371000     		do = 547.980085787946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90198070-0.90236420) × cos(1.34450548) × R
    0.000383499999999981 × 0.224364485751672 × 6371000     		du = 548.184924200591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34459151)-sin(1.34450548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224280648230635-0.224364485751672)×R²
    abs(0.90236420-0.90198070)×8.38375210376052e-05×R²
    0.000383499999999981×8.38375210376052e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.38375210376052e-05×40589641000000     		ar = 300402.448175421m²