Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105439 / 43295
↖ ↑ ↗
← N 52.000101°
E109.596863°		 ← 188 m → N 52.000101°
E109.599609°		 →
↑
188.01 m
↓
↑
188.01 m
↓
N 51.998411°
E109.596863°		 ← 188.01 m →
35 346 m²		 N 51.998411°
E109.599609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804439544677734 y=0.330318450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804439544677734 × 217)
    floor (0.804439544677734 × 131072)
    floor (105439.5)     		tx = 105439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330318450927734 × 217)
    floor (0.330318450927734 × 131072)
    floor (43295.5)     		ty = 43295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105439 / 43295 ti = "17/105439/43295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105439/43295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105439 ÷ 217
    105439 ÷ 131072     		x = 0.804435729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43295 ÷ 217
    43295 ÷ 131072     		y = 0.330314636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804435729980469 × 2 - 1) × π
    0.608871459960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.91282611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330314636230469 × 2 - 1) × π
    0.339370727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.06616458444967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91282611} λ = 1.91282611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06616458444967))-π/2
    2×atan(2.90421922393682)-π/2
    2×1.23918465357249-π/2
    2.47836930714498-1.57079632675     		φ = 0.90757298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91282611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.596863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90757298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.000101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105439 KachelY 43295 1.91282611 0.90757298 109.596863 52.000101
    Oben rechts KachelX + 1 105440 KachelY 43295 1.91287404 0.90757298 109.599609 52.000101
    Unten links KachelX 105439 KachelY + 1 43296 1.91282611 0.90754347 109.596863 51.998411
    Unten rechts KachelX + 1 105440 KachelY + 1 43296 1.91287404 0.90754347 109.599609 51.998411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90757298-0.90754347) × R
    2.95099999999549e-05 × 6371000     		dl = 188.008209999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90757298-0.90754347) × R
    2.95099999999549e-05 × 6371000     		dr = 188.008209999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91282611-1.91287404) × cos(0.90757298) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.615660081362869 × 6371000     		do = 187.999212235046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91282611-1.91287404) × cos(0.90754347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.615683335324272 × 6371000     		du = 188.006313111906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90757298)-sin(0.90754347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615660081362869-0.615683335324272)×R²
    abs(1.91287404-1.91282611)×2.32539614035687e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32539614035687e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32539614035687e-05×40589641000000     		ar = 35346.0628878941m²