Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105436 / 97340
↖ ↑ ↗
← S 65.435435°
E109.588623°		 ← 126.97 m → S 65.435435°
E109.591370°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.436576°
E109.588623°		 ← 126.97 m →
16 114 m²		 S 65.436576°
E109.591370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804416656494141 y=0.742649078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804416656494141 × 217)
    floor (0.804416656494141 × 131072)
    floor (105436.5)     		tx = 105436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742649078369141 × 217)
    floor (0.742649078369141 × 131072)
    floor (97340.5)     		ty = 97340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105436 / 97340 ti = "17/105436/97340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105436/97340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105436 ÷ 217
    105436 ÷ 131072     		x = 0.804412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97340 ÷ 217
    97340 ÷ 131072     		y = 0.742645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804412841796875 × 2 - 1) × π
    0.60882568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91268229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.48529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52458515551627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91268229} λ = 1.91268229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52458515551627))-π/2
    2×atan(0.217711354488658)-π/2
    2×0.214366270697146-π/2
    0.428732541394291-1.57079632675     		φ = -1.14206379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91268229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.588623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14206379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.435435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105436 KachelY 97340 1.91268229 -1.14206379 109.588623 -65.435435
    Oben rechts KachelX + 1 105437 KachelY 97340 1.91273023 -1.14206379 109.591370 -65.435435
    Unten links KachelX 105436 KachelY + 1 97341 1.91268229 -1.14208371 109.588623 -65.436576
    Unten rechts KachelX + 1 105437 KachelY + 1 97341 1.91273023 -1.14208371 109.591370 -65.436576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14206379--1.14208371) × R
    1.99200000001731e-05 × 6371000     		dl = 126.910320001103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14206379--1.14208371) × R
    1.99200000001731e-05 × 6371000     		dr = 126.910320001103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91268229-1.91273023) × cos(-1.14206379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415718387251551 × 6371000     		do = 126.971096057828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91268229-1.91273023) × cos(-1.14208371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415700270060787 × 6371000     		du = 126.965562601432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14206379)-sin(-1.14208371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415718387251551-0.415700270060787)×R²
    abs(1.91273023-1.91268229)×1.81171907643329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81171907643329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81171907643329e-05×40589641000000     		ar = 16113.5913057815m²