Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105434 / 97339
↖ ↑ ↗
← S 65.434293°
E109.583130°		 ← 126.98 m → S 65.434293°
E109.585877°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
S 65.435435°
E109.583130°		 ← 126.97 m →
16 122 m²		 S 65.435435°
E109.585877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804401397705078 y=0.742641448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804401397705078 × 217)
    floor (0.804401397705078 × 131072)
    floor (105434.5)     		tx = 105434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742641448974609 × 217)
    floor (0.742641448974609 × 131072)
    floor (97339.5)     		ty = 97339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105434 / 97339 ti = "17/105434/97339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105434/97339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105434 ÷ 217
    105434 ÷ 131072     		x = 0.804397583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97339 ÷ 217
    97339 ÷ 131072     		y = 0.742637634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804397583007812 × 2 - 1) × π
    0.608795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91258642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742637634277344 × 2 - 1) × π
    -0.485275268554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.52453721861665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91258642} λ = 1.91258642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52453721861665))-π/2
    2×atan(0.217721791146153)-π/2
    2×0.214376235039758-π/2
    0.428752470079515-1.57079632675     		φ = -1.14204386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91258642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.583130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14204386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.434293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105434 KachelY 97339 1.91258642 -1.14204386 109.583130 -65.434293
    Oben rechts KachelX + 1 105435 KachelY 97339 1.91263436 -1.14204386 109.585877 -65.434293
    Unten links KachelX 105434 KachelY + 1 97340 1.91258642 -1.14206379 109.583130 -65.435435
    Unten rechts KachelX + 1 105435 KachelY + 1 97340 1.91263436 -1.14206379 109.585877 -65.435435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14204386--1.14206379) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dl = 126.974029999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14204386--1.14206379) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dr = 126.974029999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91258642-1.91263436) × cos(-1.14204386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415736513372206 × 6371000     		do = 126.976632241643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91258642-1.91263436) × cos(-1.14206379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415718387251551 × 6371000     		du = 126.971096057828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14204386)-sin(-1.14206379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415736513372206-0.415718387251551)×R²
    abs(1.91263436-1.91258642)×1.81261206553818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81261206553818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81261206553818e-05×40589641000000     		ar = 16122.3832362296m²