Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105425 / 97427
↖ ↑ ↗
← S 65.534584°
E109.558411°		 ← 126.49 m → S 65.534584°
E109.561157°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
S 65.535721°
E109.558411°		 ← 126.48 m →
15 996 m²		 S 65.535721°
E109.561157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804332733154297 y=0.743312835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804332733154297 × 217)
    floor (0.804332733154297 × 131072)
    floor (105425.5)     		tx = 105425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743312835693359 × 217)
    floor (0.743312835693359 × 131072)
    floor (97427.5)     		ty = 97427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105425 / 97427 ti = "17/105425/97427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105425/97427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105425 ÷ 217
    105425 ÷ 131072     		x = 0.804328918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97427 ÷ 217
    97427 ÷ 131072     		y = 0.743309020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804328918457031 × 2 - 1) × π
    0.608657836914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.91215499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743309020996094 × 2 - 1) × π
    -0.486618041992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.52875566578321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91215499} λ = 1.91215499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52875566578321))-π/2
    2×atan(0.216805277763968)-π/2
    2×0.213501034201048-π/2
    0.427002068402096-1.57079632675     		φ = -1.14379426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91215499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.558411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14379426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.534584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105425 KachelY 97427 1.91215499 -1.14379426 109.558411 -65.534584
    Oben rechts KachelX + 1 105426 KachelY 97427 1.91220293 -1.14379426 109.561157 -65.534584
    Unten links KachelX 105425 KachelY + 1 97428 1.91215499 -1.14381411 109.558411 -65.535721
    Unten rechts KachelX + 1 105426 KachelY + 1 97428 1.91220293 -1.14381411 109.561157 -65.535721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14379426--1.14381411) × R
    1.98500000001545e-05 × 6371000     		dl = 126.464350000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14379426--1.14381411) × R
    1.98500000001545e-05 × 6371000     		dr = 126.464350000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91215499-1.91220293) × cos(-1.14379426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414143914574516 × 6371000     		do = 126.490211575335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91215499-1.91220293) × cos(-1.14381411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41412584679636 × 6371000     		du = 126.484693210822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14379426)-sin(-1.14381411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414143914574516-0.41412584679636)×R²
    abs(1.91220293-1.91215499)×1.80677781562166e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80677781562166e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80677781562166e-05×40589641000000     		ar = 15996.1534506641m²