Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105422 / 97326
↖ ↑ ↗
← S 65.419444°
E109.550171°		 ← 127.05 m → S 65.419444°
E109.552918°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
S 65.420587°
E109.550171°		 ← 127.04 m →
16 140 m²		 S 65.420587°
E109.552918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804309844970703 y=0.742542266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804309844970703 × 217)
    floor (0.804309844970703 × 131072)
    floor (105422.5)     		tx = 105422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742542266845703 × 217)
    floor (0.742542266845703 × 131072)
    floor (97326.5)     		ty = 97326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105422 / 97326 ti = "17/105422/97326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105422/97326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105422 ÷ 217
    105422 ÷ 131072     		x = 0.804306030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97326 ÷ 217
    97326 ÷ 131072     		y = 0.742538452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804306030273438 × 2 - 1) × π
    0.608612060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91201118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742538452148438 × 2 - 1) × π
    -0.485076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52391403892159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91201118} λ = 1.91201118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52391403892159))-π/2
    2×atan(0.217857513230799)-π/2
    2×0.214505811032649-π/2
    0.429011622065298-1.57079632675     		φ = -1.14178470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91201118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.550171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14178470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.419444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105422 KachelY 97326 1.91201118 -1.14178470 109.550171 -65.419444
    Oben rechts KachelX + 1 105423 KachelY 97326 1.91205912 -1.14178470 109.552918 -65.419444
    Unten links KachelX 105422 KachelY + 1 97327 1.91201118 -1.14180464 109.550171 -65.420587
    Unten rechts KachelX + 1 105423 KachelY + 1 97327 1.91205912 -1.14180464 109.552918 -65.420587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14178470--1.14180464) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dl = 127.037739998914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14178470--1.14180464) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dr = 127.037739998914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91201118-1.91205912) × cos(-1.14178470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415972201567457 × 6371000     		do = 127.048617483086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91201118-1.91205912) × cos(-1.14180464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41595406850081 × 6371000     		du = 127.043079177787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14178470)-sin(-1.14180464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415972201567457-0.41595406850081)×R²
    abs(1.91205912-1.91201118)×1.81330666461643e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81330666461643e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81330666461643e-05×40589641000000     		ar = 16139.6174486723m²