Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105418 / 97320
↖ ↑ ↗
← S 65.412589°
E109.539185°		 ← 127.08 m → S 65.412589°
E109.541931°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
S 65.413731°
E109.539185°		 ← 127.08 m →
16 144 m²		 S 65.413731°
E109.541931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804279327392578 y=0.742496490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804279327392578 × 217)
    floor (0.804279327392578 × 131072)
    floor (105418.5)     		tx = 105418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742496490478516 × 217)
    floor (0.742496490478516 × 131072)
    floor (97320.5)     		ty = 97320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105418 / 97320 ti = "17/105418/97320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105418/97320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105418 ÷ 217
    105418 ÷ 131072     		x = 0.804275512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97320 ÷ 217
    97320 ÷ 131072     		y = 0.74249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804275512695312 × 2 - 1) × π
    0.608551025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91181943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.4849853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52362641752386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91181943} λ = 1.91181943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52362641752386))-π/2
    2×atan(0.21792018272537)-π/2
    2×0.214565640108899-π/2
    0.429131280217797-1.57079632675     		φ = -1.14166505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91181943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.539185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14166505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.412589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105418 KachelY 97320 1.91181943 -1.14166505 109.539185 -65.412589
    Oben rechts KachelX + 1 105419 KachelY 97320 1.91186737 -1.14166505 109.541931 -65.412589
    Unten links KachelX 105418 KachelY + 1 97321 1.91181943 -1.14168499 109.539185 -65.413731
    Unten rechts KachelX + 1 105419 KachelY + 1 97321 1.91186737 -1.14168499 109.541931 -65.413731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14166505--1.14168499) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dl = 127.037739998914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14166505--1.14168499) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dr = 127.037739998914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91181943-1.91186737) × cos(-1.14166505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416081005587125 × 6371000     		do = 127.081849031308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91181943-1.91186737) × cos(-1.14168499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416062873513022 × 6371000     		du = 127.076311029158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14166505)-sin(-1.14168499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416081005587125-0.416062873513022)×R²
    abs(1.91186737-1.91181943)×1.81320741027835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81320741027835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81320741027835e-05×40589641000000     		ar = 16143.8391287842m²