Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105412 / 97322
↖ ↑ ↗
← S 65.414875°
E109.522705°		 ← 127.07 m → S 65.414875°
E109.525452°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
S 65.416017°
E109.522705°		 ← 127.07 m →
16 142 m²		 S 65.416017°
E109.525452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804233551025391 y=0.742511749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804233551025391 × 217)
    floor (0.804233551025391 × 131072)
    floor (105412.5)     		tx = 105412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742511749267578 × 217)
    floor (0.742511749267578 × 131072)
    floor (97322.5)     		ty = 97322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105412 / 97322 ti = "17/105412/97322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105412/97322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105412 ÷ 217
    105412 ÷ 131072     		x = 0.804229736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97322 ÷ 217
    97322 ÷ 131072     		y = 0.742507934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804229736328125 × 2 - 1) × π
    0.60845947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91153181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742507934570312 × 2 - 1) × π
    -0.485015869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5237222913231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91153181} λ = 1.91153181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5237222913231))-π/2
    2×atan(0.217899290891027)-π/2
    2×0.214545695344768-π/2
    0.429091390689536-1.57079632675     		φ = -1.14170494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91153181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.522705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14170494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.414875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105412 KachelY 97322 1.91153181 -1.14170494 109.522705 -65.414875
    Oben rechts KachelX + 1 105413 KachelY 97322 1.91157975 -1.14170494 109.525452 -65.414875
    Unten links KachelX 105412 KachelY + 1 97323 1.91153181 -1.14172488 109.522705 -65.416017
    Unten rechts KachelX + 1 105413 KachelY + 1 97323 1.91157975 -1.14172488 109.525452 -65.416017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14170494--1.14172488) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dl = 127.037740000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14170494--1.14172488) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dr = 127.037740000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91153181-1.91157975) × cos(-1.14170494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416044732180049 × 6371000     		do = 127.07077019911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91153181-1.91157975) × cos(-1.14172488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416026599775014 × 6371000     		du = 127.065232095884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14170494)-sin(-1.14172488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416044732180049-0.416026599775014)×R²
    abs(1.91157975-1.91153181)×1.81324050349541e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81324050349541e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81324050349541e-05×40589641000000     		ar = 16142.4316926706m²