Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105410 / 43459
↖ ↑ ↗
← N 51.721924°
E109.517212°		 ← 189.17 m → N 51.721924°
E109.519958°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
N 51.720222°
E109.517212°		 ← 189.17 m →
35 794 m²		 N 51.720222°
E109.519958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804218292236328 y=0.331569671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804218292236328 × 217)
    floor (0.804218292236328 × 131072)
    floor (105410.5)     		tx = 105410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331569671630859 × 217)
    floor (0.331569671630859 × 131072)
    floor (43459.5)     		ty = 43459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105410 / 43459 ti = "17/105410/43459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105410/43459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105410 ÷ 217
    105410 ÷ 131072     		x = 0.804214477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43459 ÷ 217
    43459 ÷ 131072     		y = 0.331565856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804214477539062 × 2 - 1) × π
    0.608428955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91143594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331565856933594 × 2 - 1) × π
    0.336868286132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.05830293291198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91143594} λ = 1.91143594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05830293291198))-π/2
    2×atan(2.8814767781352)-π/2
    2×1.23675709887662-π/2
    2.47351419775323-1.57079632675     		φ = 0.90271787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91143594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.517212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90271787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.721924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105410 KachelY 43459 1.91143594 0.90271787 109.517212 51.721924
    Oben rechts KachelX + 1 105411 KachelY 43459 1.91148387 0.90271787 109.519958 51.721924
    Unten links KachelX 105410 KachelY + 1 43460 1.91143594 0.90268817 109.517212 51.720222
    Unten rechts KachelX + 1 105411 KachelY + 1 43460 1.91148387 0.90268817 109.519958 51.720222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90271787-0.90268817) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90271787-0.90268817) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91143594-1.91148387) × cos(0.90271787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619478694325628 × 6371000     		do = 189.165271641139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91143594-1.91148387) × cos(0.90268817) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61950200895245 × 6371000     		du = 189.172391042914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90271787)-sin(0.90268817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619478694325628-0.61950200895245)×R²
    abs(1.91148387-1.91143594)×2.33146268223683e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33146268223683e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33146268223683e-05×40589641000000     		ar = 35794.2803496514m²