Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10540 / 2516
↖ ↑ ↗
← N 77.059116°
E 51.591797°		 ← 547.16 m → N 77.059116°
E 51.613770°		 →
↑
547.27 m
↓
↑
547.27 m
↓
N 77.054194°
E 51.591797°		 ← 547.37 m →
299 500 m²		 N 77.054194°
E 51.613770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643341064453125 y=0.153594970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643341064453125 × 214)
    floor (0.643341064453125 × 16384)
    floor (10540.5)     		tx = 10540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153594970703125 × 214)
    floor (0.153594970703125 × 16384)
    floor (2516.5)     		ty = 2516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10540 / 2516 ti = "14/10540/2516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10540/2516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10540 ÷ 214
    10540 ÷ 16384     		x = 0.643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2516 ÷ 214
    2516 ÷ 16384     		y = 0.153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643310546875 × 2 - 1) × π
    0.28662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90044672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153564453125 × 2 - 1) × π
    0.69287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17671873794751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90044672} λ = 0.90044672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17671873794751))-π/2
    2×atan(8.81732678032188)-π/2
    2×1.45786580880343-π/2
    2.91573161760686-1.57079632675     		φ = 1.34493529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90044672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34493529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.059116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10540 KachelY 2516 0.90044672 1.34493529 51.591797 77.059116
    Oben rechts KachelX + 1 10541 KachelY 2516 0.90083022 1.34493529 51.613770 77.059116
    Unten links KachelX 10540 KachelY + 1 2517 0.90044672 1.34484939 51.591797 77.054194
    Unten rechts KachelX + 1 10541 KachelY + 1 2517 0.90083022 1.34484939 51.613770 77.054194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34493529-1.34484939) × R
    8.58999999999721e-05 × 6371000     		dl = 547.268899999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34493529-1.34484939) × R
    8.58999999999721e-05 × 6371000     		dr = 547.268899999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90044672-0.90083022) × cos(1.34493529) × R
    0.000383499999999981 × 0.22394561291789 × 6371000     		do = 547.161501211576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90044672-0.90083022) × cos(1.34484939) × R
    0.000383499999999981 × 0.224029330372691 × 6371000     		du = 547.366046268966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34493529)-sin(1.34484939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22394561291789-0.224029330372691)×R²
    abs(0.90083022-0.90044672)×8.37174548009578e-05×R²
    0.000383499999999981×8.37174548009578e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.37174548009578e-05×40589641000000     		ar = 299500.443649147m²