Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1054 / 3106
↖ ↑ ↗
← N 39.842286°
W133.681641°		 ← 3 751.90 m → N 39.842286°
W133.637695°		 →
↑
3 752.84 m
↓
↑
3 752.84 m
↓
N 39.808536°
W133.681641°		 ← 3 753.75 m →
14 083 741 m²		 N 39.808536°
W133.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12872314453125 y=0.37921142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12872314453125 × 213)
    floor (0.12872314453125 × 8192)
    floor (1054.5)     		tx = 1054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37921142578125 × 213)
    floor (0.37921142578125 × 8192)
    floor (3106.5)     		ty = 3106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1054 / 3106 ti = "13/1054/3106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1054/3106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1054 ÷ 213
    1054 ÷ 8192     		x = 0.128662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3106 ÷ 213
    3106 ÷ 8192     		y = 0.379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.74267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33318478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    0.24169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.759320489981689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33318478} λ = -2.33318478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.759320489981689))-π/2
    2×atan(2.13682373392855)-π/2
    2×1.13308769968076-π/2
    2.26617539936151-1.57079632675     		φ = 0.69537907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33318478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69537907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.842286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1054 KachelY 3106 -2.33318478 0.69537907 -133.681641 39.842286
    Oben rechts KachelX + 1 1055 KachelY 3106 -2.33241779 0.69537907 -133.637695 39.842286
    Unten links KachelX 1054 KachelY + 1 3107 -2.33318478 0.69479002 -133.681641 39.808536
    Unten rechts KachelX + 1 1055 KachelY + 1 3107 -2.33241779 0.69479002 -133.637695 39.808536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69537907-0.69479002) × R
    0.00058904999999998 × 6371000     		dl = 3752.83754999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69537907-0.69479002) × R
    0.00058904999999998 × 6371000     		dr = 3752.83754999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33318478--2.33241779) × cos(0.69537907) × R
    0.000766989999999801 × 0.76781089570694 × 6371000     		do = 3751.90278985988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33318478--2.33241779) × cos(0.69479002) × R
    0.000766989999999801 × 0.768188152993315 × 6371000     		du = 3753.74625505835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69537907)-sin(0.69479002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76781089570694-0.768188152993315)×R²
    abs(-2.33241779--2.33318478)×0.000377257286374277×R²
    0.000766989999999801×0.000377257286374277×6371000²
    0.000766989999999801×0.000377257286374277×40589641000000     		ar = 14083741.1936775m²