Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105396 / 97348
↖ ↑ ↗
← S 65.444567°
E109.478760°		 ← 126.93 m → S 65.444567°
E109.481507°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.445709°
E109.478760°		 ← 126.92 m →
16 108 m²		 S 65.445709°
E109.481507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804111480712891 y=0.742710113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804111480712891 × 217)
    floor (0.804111480712891 × 131072)
    floor (105396.5)     		tx = 105396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742710113525391 × 217)
    floor (0.742710113525391 × 131072)
    floor (97348.5)     		ty = 97348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105396 / 97348 ti = "17/105396/97348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105396/97348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105396 ÷ 217
    105396 ÷ 131072     		x = 0.804107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97348 ÷ 217
    97348 ÷ 131072     		y = 0.742706298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804107666015625 × 2 - 1) × π
    0.60821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91076482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742706298828125 × 2 - 1) × π
    -0.48541259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52496865071323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91076482} λ = 1.91076482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52496865071323))-π/2
    2×atan(0.21762787923709)-π/2
    2×0.214286571594069-π/2
    0.428573143188138-1.57079632675     		φ = -1.14222318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91076482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.478760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14222318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.444567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105396 KachelY 97348 1.91076482 -1.14222318 109.478760 -65.444567
    Oben rechts KachelX + 1 105397 KachelY 97348 1.91081276 -1.14222318 109.481507 -65.444567
    Unten links KachelX 105396 KachelY + 1 97349 1.91076482 -1.14224310 109.478760 -65.445709
    Unten rechts KachelX + 1 105397 KachelY + 1 97349 1.91081276 -1.14224310 109.481507 -65.445709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14222318--1.14224310) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14222318--1.14224310) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91076482-1.91081276) × cos(-1.14222318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41557341782038 × 6371000     		do = 126.926818662036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91076482-1.91081276) × cos(-1.14224310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415555299309949 × 6371000     		du = 126.921284802579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14222318)-sin(-1.14224310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41557341782038-0.415555299309949)×R²
    abs(1.91081276-1.91076482)×1.81185104314308e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81185104314308e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81185104314308e-05×40589641000000     		ar = 16107.9720215103m²