Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105396 / 43468
↖ ↑ ↗
← N 51.706608°
E109.478760°		 ← 189.27 m → N 51.706608°
E109.481507°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
N 51.704907°
E109.478760°		 ← 189.28 m →
35 814 m²		 N 51.704907°
E109.481507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804111480712891 y=0.331638336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804111480712891 × 217)
    floor (0.804111480712891 × 131072)
    floor (105396.5)     		tx = 105396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331638336181641 × 217)
    floor (0.331638336181641 × 131072)
    floor (43468.5)     		ty = 43468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105396 / 43468 ti = "17/105396/43468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105396/43468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105396 ÷ 217
    105396 ÷ 131072     		x = 0.804107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43468 ÷ 217
    43468 ÷ 131072     		y = 0.331634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804107666015625 × 2 - 1) × π
    0.60821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91076482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331634521484375 × 2 - 1) × π
    0.33673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0578715008154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91076482} λ = 1.91076482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0578715008154))-π/2
    2×atan(2.8802338846989)-π/2
    2×1.23662344475072-π/2
    2.47324688950144-1.57079632675     		φ = 0.90245056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91076482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.478760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90245056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.706608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105396 KachelY 43468 1.91076482 0.90245056 109.478760 51.706608
    Oben rechts KachelX + 1 105397 KachelY 43468 1.91081276 0.90245056 109.481507 51.706608
    Unten links KachelX 105396 KachelY + 1 43469 1.91076482 0.90242086 109.478760 51.704907
    Unten rechts KachelX + 1 105397 KachelY + 1 43469 1.91081276 0.90242086 109.481507 51.704907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90245056-0.90242086) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90245056-0.90242086) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91076482-1.91081276) × cos(0.90245056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619688514141345 × 6371000     		do = 189.268823000997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91076482-1.91081276) × cos(0.90242086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619711823849134 × 6371000     		du = 189.275942385747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90245056)-sin(0.90242086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619688514141345-0.619711823849134)×R²
    abs(1.91081276-1.91076482)×2.33097077892985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33097077892985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33097077892985e-05×40589641000000     		ar = 35813.8742017342m²