Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105384 / 97335
↖ ↑ ↗
← S 65.429725°
E109.445801°		 ← 126.97 m → S 65.429725°
E109.448547°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
S 65.430867°
E109.445801°		 ← 126.97 m →
16 130 m²		 S 65.430867°
E109.448547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804019927978516 y=0.742610931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804019927978516 × 217)
    floor (0.804019927978516 × 131072)
    floor (105384.5)     		tx = 105384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742610931396484 × 217)
    floor (0.742610931396484 × 131072)
    floor (97335.5)     		ty = 97335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105384 / 97335 ti = "17/105384/97335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105384/97335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105384 ÷ 217
    105384 ÷ 131072     		x = 0.80401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97335 ÷ 217
    97335 ÷ 131072     		y = 0.742607116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80401611328125 × 2 - 1) × π
    0.6080322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91018958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742607116699219 × 2 - 1) × π
    -0.485214233398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.52434547101817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91018958} λ = 1.91018958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52434547101817))-π/2
    2×atan(0.217763542779502)-π/2
    2×0.214416096754694-π/2
    0.428832193509389-1.57079632675     		φ = -1.14196413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91018958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14196413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.429725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105384 KachelY 97335 1.91018958 -1.14196413 109.445801 -65.429725
    Oben rechts KachelX + 1 105385 KachelY 97335 1.91023751 -1.14196413 109.448547 -65.429725
    Unten links KachelX 105384 KachelY + 1 97336 1.91018958 -1.14198407 109.445801 -65.430867
    Unten rechts KachelX + 1 105385 KachelY + 1 97336 1.91023751 -1.14198407 109.448547 -65.430867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14196413--1.14198407) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dl = 127.037739998914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14196413--1.14198407) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dr = 127.037739998914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91018958-1.91023751) × cos(-1.14196413) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41580902529795 × 6371000     		do = 126.972288057381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91018958-1.91023751) × cos(-1.14198407) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415790890743349 × 6371000     		du = 126.966750452975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14196413)-sin(-1.14198407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41580902529795-0.415790890743349)×R²
    abs(1.91023751-1.91018958)×1.81345546013678e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81345546013678e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81345546013678e-05×40589641000000     		ar = 16129.9207755442m²