Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105383 / 97327
↖ ↑ ↗
← S 65.420587°
E109.443054°		 ← 127.04 m → S 65.420587°
E109.445801°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
S 65.421729°
E109.443054°		 ← 127.04 m →
16 139 m²		 S 65.421729°
E109.445801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804012298583984 y=0.742549896240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804012298583984 × 217)
    floor (0.804012298583984 × 131072)
    floor (105383.5)     		tx = 105383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742549896240234 × 217)
    floor (0.742549896240234 × 131072)
    floor (97327.5)     		ty = 97327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105383 / 97327 ti = "17/105383/97327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105383/97327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105383 ÷ 217
    105383 ÷ 131072     		x = 0.804008483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97327 ÷ 217
    97327 ÷ 131072     		y = 0.742546081542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804008483886719 × 2 - 1) × π
    0.608016967773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.91014164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742546081542969 × 2 - 1) × π
    -0.485092163085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.52396197582121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91014164} λ = 1.91014164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52396197582121))-π/2
    2×atan(0.217847070067364)-π/2
    2×0.214495841041228-π/2
    0.428991682082456-1.57079632675     		φ = -1.14180464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91014164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.443054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14180464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.420587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105383 KachelY 97327 1.91014164 -1.14180464 109.443054 -65.420587
    Oben rechts KachelX + 1 105384 KachelY 97327 1.91018958 -1.14180464 109.445801 -65.420587
    Unten links KachelX 105383 KachelY + 1 97328 1.91014164 -1.14182458 109.443054 -65.421729
    Unten rechts KachelX + 1 105384 KachelY + 1 97328 1.91018958 -1.14182458 109.445801 -65.421729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14180464--1.14182458) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dl = 127.037740000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14180464--1.14182458) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dr = 127.037740000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91014164-1.91018958) × cos(-1.14180464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41595406850081 × 6371000     		do = 127.043079177787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91014164-1.91018958) × cos(-1.14182458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415935935268779 × 6371000     		du = 127.037540821976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14180464)-sin(-1.14182458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41595406850081-0.415935935268779)×R²
    abs(1.91018958-1.91014164)×1.81332320312033e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81332320312033e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81332320312033e-05×40589641000000     		ar = 16138.9138716862m²