Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105381 / 97328
↖ ↑ ↗
← S 65.421729°
E109.437561°		 ← 127.01 m → S 65.421729°
E109.440307°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
S 65.422872°
E109.437561°		 ← 127.01 m →
16 135 m²		 S 65.422872°
E109.440307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803997039794922 y=0.742557525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803997039794922 × 217)
    floor (0.803997039794922 × 131072)
    floor (105381.5)     		tx = 105381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742557525634766 × 217)
    floor (0.742557525634766 × 131072)
    floor (97328.5)     		ty = 97328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105381 / 97328 ti = "17/105381/97328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105381/97328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105381 ÷ 217
    105381 ÷ 131072     		x = 0.803993225097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97328 ÷ 217
    97328 ÷ 131072     		y = 0.7425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803993225097656 × 2 - 1) × π
    0.607986450195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.91004577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52400991272083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91004577} λ = 1.91004577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52400991272083))-π/2
    2×atan(0.21783662740453)-π/2
    2×0.214485871484421-π/2
    0.428971742968842-1.57079632675     		φ = -1.14182458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91004577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.437561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14182458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.421729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105381 KachelY 97328 1.91004577 -1.14182458 109.437561 -65.421729
    Oben rechts KachelX + 1 105382 KachelY 97328 1.91009370 -1.14182458 109.440307 -65.421729
    Unten links KachelX 105381 KachelY + 1 97329 1.91004577 -1.14184452 109.437561 -65.422872
    Unten rechts KachelX + 1 105382 KachelY + 1 97329 1.91009370 -1.14184452 109.440307 -65.422872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14182458--1.14184452) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dl = 127.037740000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14182458--1.14184452) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dr = 127.037740000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91004577-1.91009370) × cos(-1.14182458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415935935268779 × 6371000     		do = 127.011041543701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91004577-1.91009370) × cos(-1.14184452) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41591780187137 × 6371000     		du = 127.005504292657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14182458)-sin(-1.14184452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415935935268779-0.41591780187137)×R²
    abs(1.91009370-1.91004577)×1.81333974088038e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81333974088038e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81333974088038e-05×40589641000000     		ar = 16134.8439536093m²