Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105376 / 97313
↖ ↑ ↗
← S 65.404588°
E109.423828°		 ← 127.12 m → S 65.404588°
E109.426575°		 →
↑
127.10 m
↓
↑
127.10 m
↓
S 65.405731°
E109.423828°		 ← 127.12 m →
16 157 m²		 S 65.405731°
E109.426575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803958892822266 y=0.742443084716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803958892822266 × 217)
    floor (0.803958892822266 × 131072)
    floor (105376.5)     		tx = 105376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742443084716797 × 217)
    floor (0.742443084716797 × 131072)
    floor (97313.5)     		ty = 97313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105376 / 97313 ti = "17/105376/97313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105376/97313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105376 ÷ 217
    105376 ÷ 131072     		x = 0.803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97313 ÷ 217
    97313 ÷ 131072     		y = 0.742439270019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803955078125 × 2 - 1) × π
    0.60791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.90980608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742439270019531 × 2 - 1) × π
    -0.484878540039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.52329085922652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90980608} λ = 1.90980608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52329085922652))-π/2
    2×atan(0.217993319921052)-π/2
    2×0.214635460477776-π/2
    0.429270920955552-1.57079632675     		φ = -1.14152541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90980608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.423828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14152541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.404588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105376 KachelY 97313 1.90980608 -1.14152541 109.423828 -65.404588
    Oben rechts KachelX + 1 105377 KachelY 97313 1.90985402 -1.14152541 109.426575 -65.404588
    Unten links KachelX 105376 KachelY + 1 97314 1.90980608 -1.14154536 109.423828 -65.405731
    Unten rechts KachelX + 1 105377 KachelY + 1 97314 1.90985402 -1.14154536 109.426575 -65.405731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14152541--1.14154536) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dl = 127.101449999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14152541--1.14154536) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dr = 127.101449999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90980608-1.90985402) × cos(-1.14152541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41620798002942 × 6371000     		do = 127.120630294308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90980608-1.90985402) × cos(-1.14154536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416189840021236 × 6371000     		du = 127.115089868884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14152541)-sin(-1.14154536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41620798002942-0.416189840021236)×R²
    abs(1.90985402-1.90980608)×1.81400081838978e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81400081838978e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81400081838978e-05×40589641000000     		ar = 16156.8643378139m²