Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105371 / 97353
↖ ↑ ↗
← S 65.450274°
E109.410095°		 ← 126.87 m → S 65.450274°
E109.412842°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.451415°
E109.410095°		 ← 126.87 m →
16 101 m²		 S 65.451415°
E109.412842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803920745849609 y=0.742748260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803920745849609 × 217)
    floor (0.803920745849609 × 131072)
    floor (105371.5)     		tx = 105371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742748260498047 × 217)
    floor (0.742748260498047 × 131072)
    floor (97353.5)     		ty = 97353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105371 / 97353 ti = "17/105371/97353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105371/97353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105371 ÷ 217
    105371 ÷ 131072     		x = 0.803916931152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97353 ÷ 217
    97353 ÷ 131072     		y = 0.742744445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803916931152344 × 2 - 1) × π
    0.607833862304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.90956640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742744445800781 × 2 - 1) × π
    -0.485488891601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.52520833521133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90956640} λ = 1.90956640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52520833521133))-π/2
    2×atan(0.217575723458798)-π/2
    2×0.21423677376985-π/2
    0.428473547539701-1.57079632675     		φ = -1.14232278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90956640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.410095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14232278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.450274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105371 KachelY 97353 1.90956640 -1.14232278 109.410095 -65.450274
    Oben rechts KachelX + 1 105372 KachelY 97353 1.90961433 -1.14232278 109.412842 -65.450274
    Unten links KachelX 105371 KachelY + 1 97354 1.90956640 -1.14234270 109.410095 -65.451415
    Unten rechts KachelX + 1 105372 KachelY + 1 97354 1.90961433 -1.14234270 109.412842 -65.451415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14232278--1.14234270) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14232278--1.14234270) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90956640-1.90961433) × cos(-1.14232278) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.415482823619345 × 6371000     		do = 126.872678450025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90956640-1.90961433) × cos(-1.14234270) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.415464704284511 × 6371000     		du = 126.867145493158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14232278)-sin(-1.14234270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415482823619345-0.415464704284511)×R²
    abs(1.90961433-1.90956640)×1.81193348345321e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.81193348345321e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.81193348345321e-05×40589641000000     		ar = 16101.1011272303m²